Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em cada caso: (d) integral0^1 integralx^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

Vamos ver qual é a pergunta: precisamos desenhar a região de integração para a integral dupla integral0^1 integralx^3 x f(x, y) , dy , dx e depois inverter a ordem das integrais. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral original. O limite externo é para indo de 0 a 1, e para cada , vai de até . Isso significa que estamos olhando para todos os pares onde está entre 0 e 1 e está entre a linha e a linha .

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região no plano . Desenhando as linhas e de a , vemos que a região de integração é um trapézio entre essas duas linhas. No ponto , ambos e dão . No ponto , temos e .

Passo 4

Para inverter a ordem das integrais, queremos expressar em termos de . Observando a região, vemos que varia de 0 a 3. Para cada nesse intervalo, varia de até . Isso porque a linha rearranjada para é , e a linha rearranjada é .

Passo 5

Com esses novos limites, a integral com a ordem invertida fica assim:
integral0^3 integraly3^y f(x, y) , dx , dy
Isso significa que agora vamos integrar primeiro em relação a de até , e depois em relação a de 0 até 3.

Resposta

A ordem das integrais invertida é:
integral0^3 integraly3^y f(x, y) , dx , dy

Exercícios relacionados