Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em cada caso: (d)
Passo 1
Vamos ver qual é a pergunta: precisamos desenhar a região de integração para a integral dupla
e depois inverter a ordem das integrais. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral original. O limite externo é para
indo de 0 a 1, e para cada
,
vai de
até
. Isso significa que estamos olhando para todos os pares
onde
está entre 0 e 1 e
está entre a linha
e a linha
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região no plano
. Desenhando as linhas
e
de
a
, vemos que a região de integração é um trapézio entre essas duas linhas. No ponto
, ambos
e
dão
. No ponto
, temos
e
.
Passo 4
Para inverter a ordem das integrais, queremos expressar
em termos de
. Observando a região, vemos que
varia de 0 a 3. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Isso porque a linha
rearranjada para
é
, e a linha
rearranjada é
.
Passo 5
Com esses novos limites, a integral com a ordem invertida fica assim:
Isso significa que agora vamos integrar primeiro em relação a
de
até
, e depois em relação a
de 0 até 3.
Resposta
A ordem das integrais invertida é: