Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. f_n : [0,1] -> R, f_n(x) = n x (1-x)^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede: temos uma sequência de funções definida por no intervalo . Precisamos mostrar que essa sequência converge pontualmente em cada ponto do intervalo e verificar se essa convergência é uniforme em todo o domínio. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e entender a diferença entre convergência pontual e uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a convergência pontual. Isso significa que, para cada valor fixo de no intervalo , vamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular esse limite para diferentes valores de :
  1. Para :
    Portanto, .
  2. Para :
    Assim, .
  3. Para :
    Aqui, tende a zero exponencialmente rápido à medida que cresce, enquanto cresce apenas linearmente. Portanto, o produto tende a zero:

Passo 4

Concluímos que, para todo em ,
Assim, a sequência de funções converge pontualmente para a função zero no intervalo dado.

Passo 5

Agora, vamos verificar a convergência uniforme. Para isso, precisamos analisar o máximo dos valores absolutos de no intervalo e ver se esse máximo tende a zero quando cresce.

Passo 6

Para encontrar o máximo de , derivamos a função em relação a e igualamos a zero:
Igualando a derivada a zero:
Isso ocorre quando , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na função (aproximando para grandes ):
Sabemos que:
Portanto, o máximo de é aproximadamente e não tende a zero.

Passo 8

Como o máximo de no intervalo não tende a zero, a convergência não é uniforme. Ou seja, existe um limite inferior positivo para a diferença máxima entre e a função limite (que é zero).

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para a função zero em todo o intervalo . No entanto, essa convergência não é uniforme no domínio dado.

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