Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede: temos uma sequência de funções definida por
no intervalo
. Precisamos mostrar que essa sequência converge pontualmente em cada ponto do intervalo e verificar se essa convergência é uniforme em todo o domínio. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e entender a diferença entre convergência pontual e uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a convergência pontual. Isso significa que, para cada valor fixo de
no intervalo
, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular esse limite para diferentes valores de
:
-
Para
: Portanto,. -
Para
: Assim,. -
Para
: Aqui,tende a zero exponencialmente rápido à medida que cresce, enquanto cresce apenas linearmente. Portanto, o produto tende a zero:
Passo 4
Concluímos que, para todo
em
,
Assim, a sequência de funções
converge pontualmente para a função zero no intervalo dado.
Passo 5
Agora, vamos verificar a convergência uniforme. Para isso, precisamos analisar o máximo dos valores absolutos de
no intervalo
e ver se esse máximo tende a zero quando
cresce.
Passo 6
Para encontrar o máximo de
, derivamos a função em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a derivada a zero:
Isso ocorre quando
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo
na função (aproximando para grandes
):
Sabemos que:
Portanto, o máximo de
é aproximadamente
e não tende a zero.
Passo 8
Como o máximo de
no intervalo
não tende a zero, a convergência não é uniforme. Ou seja, existe um limite inferior positivo para a diferença máxima entre
e a função limite (que é zero).
Resposta
A sequência de funções
converge pontualmente para a função zero em todo o intervalo
. No entanto, essa convergência não é uniforme no domínio dado.