Calcule as seguintes integrais duplas: (h) integral duplaR 1x+y+z d x d y onde R=[1,3] times[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Isso está no assunto de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais de funções com duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A região significa que varia de 1 a 3 e varia de 1 a 2. Isso nos dá os limites para as integrais.

Passo 3

A integral dupla pode ser escrita assim:
integral duplaR 1x + y + z , dx , dy = integral1^3 integral1^2 1x + y + z , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos começar integrando com respeito a integral1^2 1x + y + z , dy . A função que vamos integrar é . Como é uma constante nessa integral (não depende de ), podemos tratar como uma constante também.
Então, temos:

Passo 5

A integral de integral 1x + y + z , dy = ln(x + y + z) + C em relação a é . Aplicando isso, onde :

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 a 2:
[ ln(x + 2 + z) - ln(x + 1 + z) ]

Passo 7

Substituímos isso de volta na integral em relação a integral1^3 [ ln(x + 2 + z) - ln(x + 1 + z) ] , dx :

Passo 8

Vamos simplificar usando propriedades dos logaritmos. A diferença de logaritmos pode ser escrita como o logaritmo de um quociente:
integral1^3 ln( x + 2 + zx + 1 + z ) , dx

Passo 9

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos definir integral2 + z^4 + z ln( u + 1u ) , du , então . Quando , , e quando , .
A integral fica:

Passo 10

Simplificando dentro do logaritmo:
ln( u + 1u ) = ln(1 + 1u)
Então, a integral fica:
integral2 + z^4 + z ln(1 + 1u) , du

Passo 11

Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais. Após resolver, obtemos uma expressão que depende de .

Resposta

Após realizar os passos acima, a integral dupla integral1^3 ln( x + 2 + zx + 1 + z ) , dx sobre a região resulta em uma expressão que envolve logaritmos naturais:
Para obter um valor numérico específico, precisaríamos conhecer o valor de . Caso seja dado, podemos substituir e calcular o valor final da integral.

Exercícios relacionados