Calcule as seguintes integrais duplas: (h)
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
. Isso está no assunto de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais de funções com duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A região
significa que
varia de 1 a 3 e
varia de 1 a 2. Isso nos dá os limites para as integrais.
Passo 3
A integral dupla pode ser escrita assim:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos começar integrando com respeito a
. A função que vamos integrar é
. Como
é uma constante nessa integral (não depende de
), podemos tratar
como uma constante também.
Então, temos:
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Aplicando isso, onde
:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 a 2:
Passo 7
Substituímos isso de volta na integral em relação a
:
Passo 8
Vamos simplificar usando propriedades dos logaritmos. A diferença de logaritmos pode ser escrita como o logaritmo de um quociente:
Passo 9
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos definir
, então
. Quando
,
, e quando
,
.
A integral fica:
Passo 10
Simplificando dentro do logaritmo:
Então, a integral fica:
Passo 11
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais. Após resolver, obtemos uma expressão que depende de
.
Resposta
Após realizar os passos acima, a integral dupla
sobre a região
resulta em uma expressão que envolve logaritmos naturais:
Para obter um valor numérico específico, precisaríamos conhecer o valor de
. Caso
seja dado, podemos substituir e calcular o valor final da integral.