Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = x / (1 + n x^2). Mostre que f_n, n ≥ 1 converge uniformemente para uma função derivável f: R -> R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência de funções e mostrar que, conforme aumenta, essa sequência converge de forma uniforme para uma função diferenciável . Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre convergência uniforme e diferenciabilidade de funções. Vamos precisar verificar os limites das funções e garantir que a convergência acontece de maneira uniforme em todo o domínio real.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Observando a função:
À medida que cresce, o termo domina no denominador, a menos que . Então, para qualquer :
E para :
Portanto, o limite ponto a ponto de é a função para todo .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre e pode ser tornada menor que qualquer de forma independente de . Então, vamos calcular o máximo de :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo , temos . Substituindo de volta:
Portanto, o máximo de é , que tende a 0 quando . Isso mostra que a convergência é uniforme.

Passo 4

Agora que sabemos que converge uniformemente para , precisamos verificar se é diferenciável. A função constante é claramente diferenciável em todo , e sua derivada é .

Resposta

Então, a sequência de funções converge uniformemente para a função diferenciável em .

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