Para cada , seja dada por . Mostre que converge uniformemente para uma função derivável .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência de funções e mostrar que, conforme aumenta, essa sequência converge de forma uniforme para uma função diferenciável . Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre convergência uniforme e diferenciabilidade de funções. Vamos precisar verificar os limites das funções e garantir que a convergência acontece de maneira uniforme em todo o domínio real.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Observando a função:
À medida que cresce, o termo domina no denominador, a menos que . Então, para qualquer :
E para :
Portanto, o limite ponto a ponto de é a função para todo .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre e pode ser tornada menor que qualquer de forma independente de . Então, vamos calcular o máximo de :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo , temos . Substituindo de volta:
Portanto, o máximo de é , que tende a 0 quando . Isso mostra que a convergência é uniforme.
Passo 4
Agora que sabemos que converge uniformemente para , precisamos verificar se é diferenciável. A função constante é claramente diferenciável em todo , e sua derivada é .
Resposta
Então, a sequência de funções converge uniformemente para a função diferenciável em .