Seja
uma função contínua no intervalo fechado
. A integral definida
é o limite de uma soma de Riemann; isto é
A interpretação geométrica da soma de Riemann
é que ela é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos que estão acima do eixo
, mais o negativo da medida das áreas dos retângulos que estão abaixo
A interpretação geométrica da soma de Riemann
é que ela é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos que estão acima do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que fala sobre funções contínuas em um intervalo
e como a integral definida
pode ser entendida como o limite de uma soma de Riemann. A gente vai trabalhar com o conceito de soma de Riemann e como ela representa a área sob a curva da função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma soma de Riemann, como ela se relaciona com integrais e como calcular o limite quando o tamanho dos intervalos tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma soma de Riemann. Imagine que a gente divide o intervalo
em pequenos subintervalos
onde
vai de 1 até
. Em cada subintervalo, escolhemos um ponto
e calculamos
. A soma de todos esses termos
nos dá uma aproximação da área sob a curva de
entre
e
.
Passo 3
Agora, a integral definida
é justamente o limite dessa soma de Riemann quando o tamanho máximo dos subintervalos
tende a zero. Isso significa que, quanto mais subdividimos o intervalo e menores ficam os subintervalos, mais precisa é a nossa aproximação da área real sob a curva.
Passo 4
Vamos falar sobre a interpretação geométrica da soma de Riemann. Cada termo
representa a área de um retângulo cujo comprimento é
e a altura é
. Se
for positivo, o retângulo fica acima do eixo
; se for negativo, fica abaixo. Então, a soma
é a soma das áreas dos retângulos acima do eixo
menos a soma das áreas dos retângulos abaixo.
Passo 5
Para entender melhor, vamos considerar que a função
é contínua no intervalo
. A continuidade garante que, à medida que dividimos o intervalo em subintervalos menores, a aproximação da soma de Riemann se torna cada vez mais precisa, chegando exatamente à integral definida no limite.
Resposta
A integral definida
representa a área líquida sob a curva de
no intervalo
, sendo exatamente o limite da soma de Riemann
, onde cada retângulo contribui com sua área acima ou abaixo do eixo
.