Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. A integral definida integrala^b f(x) d x é o limite de uma soma de Riemann; isto é
integrala^b f(x) d x=lim |De
A interpretação geométrica da soma de Riemann
sumi=1^n f(xii) De
é que ela é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x, mais o negativo da medida das áreas dos retângulos que estão abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que fala sobre funções contínuas em um intervalo e como a integral definida pode ser entendida como o limite de uma soma de Riemann. A gente vai trabalhar com o conceito de soma de Riemann e como ela representa a área sob a curva da função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma soma de Riemann, como ela se relaciona com integrais e como calcular o limite quando o tamanho dos intervalos tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma soma de Riemann. Imagine que a gente divide o intervalo em pequenos subintervalos onde vai de 1 até . Em cada subintervalo, escolhemos um ponto e calculamos . A soma de todos esses termos nos dá uma aproximação da área sob a curva de entre e .

Passo 3

Agora, a integral definida é justamente o limite dessa soma de Riemann quando o tamanho máximo dos subintervalos tende a zero. Isso significa que, quanto mais subdividimos o intervalo e menores ficam os subintervalos, mais precisa é a nossa aproximação da área real sob a curva.

Passo 4

Vamos falar sobre a interpretação geométrica da soma de Riemann. Cada termo representa a área de um retângulo cujo comprimento é e a altura é . Se for positivo, o retângulo fica acima do eixo ; se for negativo, fica abaixo. Então, a soma é a soma das áreas dos retângulos acima do eixo menos a soma das áreas dos retângulos abaixo.

Passo 5

Para entender melhor, vamos considerar que a função é contínua no intervalo . A continuidade garante que, à medida que dividimos o intervalo em subintervalos menores, a aproximação da soma de Riemann se torna cada vez mais precisa, chegando exatamente à integral definida no limite.

Resposta

A integral definida representa a área líquida sob a curva de no intervalo , sendo exatamente o limite da soma de Riemann , onde cada retângulo contribui com sua área acima ou abaixo do eixo .

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