Para cada
, seja
dada por
. Mostre que se
, então
.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida para cada
e queremos mostrar que, para qualquer
, a derivada dessa função,
, converge para a derivada de uma função limite
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, especificamente a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função é um quociente, então usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, queremos analisar o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
.
Vamos observar o numerador e o denominador separadamente:
- Numerador:
. Para , quando , domina, então o numerador tende a . - Denominador:
. Isso também tende a já que domina.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, podemos dividir numerador e denominador por
:
Quando
,
tende a 0. Assim:
Resposta
Para
, a derivada
tende a
quando
tende ao infinito, ou seja,
.