Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = x / (1 + n x^2). Mostre que se x != 0, então fn'(x) -> f'(x).

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para cada e queremos mostrar que, para qualquer , a derivada dessa função, , converge para a derivada de uma função limite quando tende ao infinito. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, especificamente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A função é um quociente, então usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Vamos derivar e :
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, queremos analisar o limite de quando tende ao infinito, ou seja, .
Vamos observar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: . Para , quando , domina, então o numerador tende a .
  • Denominador: . Isso também tende a já que domina.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, podemos dividir numerador e denominador por :
Quando , tende a 0. Assim:

Resposta

Para , a derivada tende a quando tende ao infinito, ou seja, .

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