Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (f) S é o sólido limitado por z - x * y = 0, z = 0, y = x^2 e y^2 - x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está limitado pelas superfícies , , e . Para isso, vamos usar integrais duplas, que ajudam a encontrar volumes de sólidos sobre uma região no plano .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a região no plano que estamos considerando. As curvas que definem essa região são e . Vamos começar encontrando onde essas duas curvas se encontram.
Igualando as duas equações:
Substituindo da primeira na segunda:
Então, as soluções são e .
Quando , ; e quando , . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos ver qual das curvas está acima da outra entre e . Por exemplo, para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, definimos a região de integração como:

Passo 5

O próximo passo é montar a integral dupla que representa o volume . A altura do sólido é dada por , e a base é a região . Assim, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa e resolvemos em relação a :
Calculando cada parte:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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