Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (f)
é o sólido limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido
que está limitado pelas superfícies
,
,
e
. Para isso, vamos usar integrais duplas, que ajudam a encontrar volumes de sólidos sobre uma região no plano
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a região no plano
que estamos considerando. As curvas que definem essa região são
e
. Vamos começar encontrando onde essas duas curvas se encontram.
Igualando as duas equações:
Substituindo
da primeira na segunda:
Então, as soluções são
e
.
Quando
,
; e quando
,
. Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver qual das curvas está acima da outra entre
e
. Por exemplo, para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, definimos a região de integração
como:
Passo 5
O próximo passo é montar a integral dupla que representa o volume
. A altura do sólido é dada por
, e a base é a região
. Assim, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa e resolvemos em relação a
:
Calculando cada parte:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.