Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a sequência de funções
converge pontualmente no intervalo
e determinar se essa convergência é uniforme. Isso se relaciona com os conceitos de convergência pontual e convergência uniforme em análise matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência pontual. Dizemos que a sequência de funções
converge pontualmente para uma função
em um ponto
se, para cada
fixo no domínio, o limite
existe e é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
para cada
no intervalo
.
-
Caso 1: Se
ou , então para todo , pois qualquer número elevado a uma potência de zero é zero. -
Caso 2: Se
, observamos que tanto quanto tendem a zero quando cresce, já que e . Portanto, o produto também tende a zero.
Portanto, para todo
no intervalo
,
Isso significa que a sequência de funções
converge pontualmente para a função
.
Passo 4
Agora, vamos ver o que é a convergência uniforme. A sequência
converge uniformemente para
no domínio se, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
e para todo
no domínio, a diferença
.
Em outras palavras, a “taxa” de convergência é a mesma para todos os pontos
do domínio.
Passo 5
Para verificar a convergência uniforme, precisamos encontrar o supremo de
no intervalo
e mostrar que esse supremo tende a zero conforme
aumenta.
Passo 6
Vamos maximizar a função
no intervalo
.
Tomando o logaritmo natural para facilitar a derivação:
Derivando em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o máximo ocorre em
.
Calculando
:
Então,
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso mostra que o supremo de
tende a zero conforme
cresce.
Resposta
A sequência de funções
converge pontualmente para a função nula
no intervalo
, e essa convergência é uniforme nesse domínio.