Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. f_n:[0,1] -> R, f_n(x) = x^n(1-x)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a sequência de funções converge pontualmente no intervalo e determinar se essa convergência é uniforme. Isso se relaciona com os conceitos de convergência pontual e convergência uniforme em análise matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência pontual. Dizemos que a sequência de funções converge pontualmente para uma função em um ponto se, para cada fixo no domínio, o limite existe e é igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite de para cada no intervalo .
  • Caso 1: Se ou , então para todo , pois qualquer número elevado a uma potência de zero é zero.
  • Caso 2: Se , observamos que tanto quanto tendem a zero quando cresce, já que e . Portanto, o produto também tende a zero.
Portanto, para todo no intervalo ,
Isso significa que a sequência de funções converge pontualmente para a função .

Passo 4

Agora, vamos ver o que é a convergência uniforme. A sequência converge uniformemente para no domínio se, para qualquer , existe um número tal que para todo e para todo no domínio, a diferença .
Em outras palavras, a “taxa” de convergência é a mesma para todos os pontos do domínio.

Passo 5

Para verificar a convergência uniforme, precisamos encontrar o supremo de no intervalo e mostrar que esse supremo tende a zero conforme aumenta.

Passo 6

Vamos maximizar a função no intervalo .
Tomando o logaritmo natural para facilitar a derivação:
Derivando em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o máximo ocorre em .
Calculando :
Então,

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Isso mostra que o supremo de tende a zero conforme cresce.

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para a função nula no intervalo , e essa convergência é uniforme nesse domínio.

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