Calcule as seguintes integrais duplas: (f) integral duplaR 1+x^21+y^2 d x d y onde R=[0,1] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla:
integral duplaR 1+x^21+y^2 , dx , dy
onde a região é o retângulo . Isso significa que varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, separando as integrais de e .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: integral duplaR 1+x^21+y^2 , dx , dy = ( integral0^1 11+y^2 , dy ) times ( integral0^1 (1+x^2) , dx ). Dá pra notar que dá pra separar as variáveis e nessa fração. Isso é útil porque permite que a gente divida a integral dupla em duas integrais simples, uma em e outra em .
Então, podemos reescrever a integral dupla assim:

Passo 3

Vamos resolver agora cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela integral em integral0^1 11+y^2 , dy:
arctan(y) g|0^1 = arctan(1) - arctan(0)
A antiderivada de integral0^1 11+y^2 , dy = pi4 é . Então, basta calcular:
Sabemos que e . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral em integral0^1 (1+x^2) , dx:
integral0^1 1 , dx + integral0^1 x^2 , dx = [ x ]0^1 + [ x^33 ]0^1
Essa integral é mais simples. Vamos integrar termo a termo:
[ x ]0^1 = 1 - 0 = 1
Calculando cada parte:
[ x^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
1 + 13 = 43
Somando os resultados:

Passo 5

Agora que temos os valores das duas integrais, basta multiplicá-los para obter o resultado da integral dupla original:
integral duplaR 1+x^21+y^2 , dx , dy = ( pi4 ) times ( 43 ) = pi3

Resposta

O valor da integral dupla é .

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