Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla:
onde a região é o retângulo . Isso significa que varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, separando as integrais de e .
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: . Dá pra notar que dá pra separar as variáveis e nessa fração. Isso é útil porque permite que a gente divida a integral dupla em duas integrais simples, uma em e outra em .
Então, podemos reescrever a integral dupla assim:
Passo 3
Vamos resolver agora cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela integral em :
A antiderivada de é . Então, basta calcular:
Sabemos que e . Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral em integral0^1 (1+x^2) , dx: