Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. fn: R -> R, fn(x) = arctan(n x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a sequência de funções converge pontualmente no conjunto dos números reais e também determinar se essa convergência é uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa convergência pontual e convergência uniforme de sequências de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência pontual. Dizemos que uma sequência de funções converge pontualmente para uma função em um domínio se, para cada ponto fixo em , o limite existe e é igual a .
No nosso caso, temos . Vamos analisar o limite de para cada .

Passo 3

Vamos considerar três casos para :
  1. Quando :
    • À medida que cresce, também cresce sem limite, ou seja, .
    • Sabemos que .
    • Portanto, .
  2. Quando :
    • .
    • Então, .
  3. Quando :
    • À medida que cresce, tende a .
    • Sabemos que .
    • Portanto, .

Passo 4

Agora, podemos definir a função limite da seguinte forma:
Isso mostra que a sequência converge pontualmente para em todo o domínio .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme significa que o limite da sequência de funções não depende de ; ou seja, para qualquer , existe um número tal que para todo e para todo , a diferença .
No nosso caso, precisamos analisar o máximo de em todo o domínio .

Passo 6

Observemos que:
  • Para , se aproxima de à medida que aumenta, e a diferença diminui.
  • Para , se aproxima de , e a diferença também diminui.
  • No entanto, no ponto , a função já é igual a , então não há diferença.
Porém, o problema surge quando consideramos valores de muito próximos de zero. Para valores pequenos de , pode não ser suficientemente grande para que esteja perto de ou . Isso significa que, para qualquer , sempre haverá pontos próximos a zero onde a diferença pode ser significativa.

Passo 7

Como sempre há pontos próximos a zero onde a diferença não é arbitrariamente pequena para todos os , não podemos garantir que existe um único que funcione para todo . Portanto, a convergência não é uniforme no domínio .

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para
No entanto, essa convergência não é uniforme no domínio .

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