Para cada n >= 1, seja fn(x)=n xn x^2+1. Considere a função f dada por
f(x)=lim n +infty fn(x)
fn, n >= 1, converge uniformemente a f em R ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma sequência de funções e nos pede para encontrar o limite dessa sequência quando vai para o infinito, ou seja, . Além disso, precisamos verificar se essa sequência converge uniformemente para em todo o conjunto dos números reais . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e convergência uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da função f(x) = limn +infty n xn x^2 + 1 quando f(x) = limn +infty xx^2 + 1n = xx^2 + 0 = 1x tende ao infinito para cada valor fixo de . Isso nos dará a função .
Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por :
Então, para todo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre convergência uniforme. Uma sequência de funções converge uniformemente para em um conjunto se, para todo , existe um número tal que para todo e para todo , a diferença .
Ou seja, a convergência é uniforme se o erro entre e é menor que independentemente do valor de .

Passo 4

Vamos verificar se |fn(x) - f(x)| = | n xn x^2 + 1 - 1x | converge uniformemente para |fn(x) - f(x)| = | n x^2 - (n x^2 + 1)x (n x^2 + 1) | = | -1x (n x^2 + 1) | = 1|x| (n x^2 + 1) em . Primeiro, calculamos a diferença:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa diferença quando tende ao infinito. Para que a convergência seja uniforme, esse valor deve ser menor que qualquer para todo e suficientemente grande.
No entanto, observe que quanto menor for o valor de , maior será a expressão . De fato, para próximo de zero, pode ser muito grande, o que torna impossível que essa diferença seja uniformemente pequena para todos os .

Resposta

Não, a sequência não converge uniformemente para em todo o conjunto dos números reais .

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