Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos estudar a função
em relação à concavidade e aos pontos de inflexão. Isso significa que vamos analisar onde a curva da função é côncava para cima ou para baixo e identificar onde essa concavidade muda, ou seja, os pontos de inflexão. Para fazer isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
da função
. Usamos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade da função. Derivamos
:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Observando
, notamos que o sinal de
depende do denominador
:
- Se
(ou seja, ), então e , então a função é côncava para baixo. - Se
(ou seja, ), então e , então a função é côncava para cima.
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não está definida. Observando
, vemos que ela nunca é igual a zero porque o numerador é constante (-2). Porém,
não está definida quando
, ou seja,
. Esse ponto é onde a concavidade muda, então
é um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Ela possui um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Para cada
, seja
. Considere a função
dada por
Uma lata de refrigerante de determinada marca, com formato cilíndrico, tem capacidade de 350 mL . 0 preço do material usado para construir o fundo e a tampa da lata é
por centímetro quadrado, e para 0 lado é
por centímetros quadrados. Qual deve ser a altura e 0 raio da lata para que 0 custo da matéria-prima seja menor possível?
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).