Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos estudar a função em relação à concavidade e aos pontos de inflexão. Isso significa que vamos analisar onde a curva da função é côncava para cima ou para baixo e identificar onde essa concavidade muda, ou seja, os pontos de inflexão. Para fazer isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade da função. Derivamos :

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Observando , notamos que o sinal de depende do denominador :
  • Se (ou seja, ), então e , então a função é côncava para baixo.
  • Se (ou seja, ), então e , então a função é côncava para cima.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não está definida. Observando , vemos que ela nunca é igual a zero porque o numerador é constante (-2). Porém, não está definida quando , ou seja, . Esse ponto é onde a concavidade muda, então é um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . Ela possui um ponto de inflexão em .

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