Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar seus pontos críticos. Além disso, devemos classificá-los como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada primeira da função e descobrir onde ela é igual a zero ou não está definida. A derivada primeira nos dá a inclinação da função em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, os pontos críticos ocorrem em e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, precisamos calcular a derivada segunda de :
A derivada segunda nos ajuda a determinar a concavidade da função e, assim, classificar os pontos críticos.

Passo 5

Vamos avaliar nos pontos críticos e :
Para :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, então é um ponto de máximo local.
Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, então é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : ponto de máximo local;
  • : ponto de mínimo local.

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Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Para cada , seja . Considere a função dada por
, converge uniformemente a em ?
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).