Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar seus pontos críticos. Além disso, devemos classificá-los como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada primeira da função
e descobrir onde ela é igual a zero ou não está definida. A derivada primeira nos dá a inclinação da função em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, os pontos críticos ocorrem em
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, precisamos calcular a derivada segunda de
:
A derivada segunda nos ajuda a determinar a concavidade da função e, assim, classificar os pontos críticos.
Passo 5
Vamos avaliar
nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, então
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, então
é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: ponto de máximo local; -
: ponto de mínimo local.
Exercícios relacionados
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Para cada
, seja
. Considere a função
dada por
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).