Para cada número real
, considere a matriz de rotação
. Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de rotação
que gira um ponto no plano em um ângulo
. A tarefa é mostrar que, ao multiplicarmos essa matriz por ela mesma (
), o resultado é a matriz de rotação
, que gira no ângulo
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz de rotação
:
Agora, vamos multiplicar
por ela mesma:
Passo 3
Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda. Vamos fazer isso passo a passo:
Passo 4
Vamos simplificar cada elemento da matriz:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos lembrar das identidades trigonométricas para o ângulo duplo:
Passo 6
Substituindo essas identidades na matriz que obtivemos:
Resposta
Mostramos que
.