Para cada número real alpha, considere a matriz de rotação Talpha=(cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha). Mostre que Talpha cdot Talpha=T2 alpha.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de rotação que gira um ponto no plano em um ângulo . A tarefa é mostrar que, ao multiplicarmos essa matriz por ela mesma ( ), o resultado é a matriz de rotação , que gira no ângulo . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz de rotação Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha :
Talpha cdot Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha cdot cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha
Agora, vamos multiplicar por ela mesma:

Passo 3

Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda. Vamos fazer isso passo a passo:
Talpha cdot Talpha = cos alpha cdot cos alpha + (-sin alpha) cdot sin alpha & cos alpha cdot (-sin alpha) + (-sin alpha) cdot cos alpha sin alpha cdot cos alpha + cos alpha cdot sin alpha & sin alpha cdot (-sin alpha) + cos alpha cdot cos alpha

Passo 4

Vamos simplificar cada elemento da matriz:
  • Elemento (1,1):
cos^2 alpha - sin^2 alpha
  • Elemento (1,2):
- cos alpha sin alpha - sin alpha cos alpha = -2 sin alpha cos alpha
  • Elemento (2,1):
sin alpha cos alpha + cos alpha sin alpha = 2 sin alpha cos alpha
  • Elemento (2,2):
- sin^2 alpha + cos^2 alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha
Então, a matriz fica:
cos^2 alpha - sin^2 alpha & -2 sin alpha cos alpha 2 sin alpha cos alpha & cos^2 alpha - sin^2 alpha

Passo 5

Agora, vamos lembrar das identidades trigonométricas para o ângulo duplo:
cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha
sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha

Passo 6

Substituindo essas identidades na matriz que obtivemos:
cos 2alpha & -sin 2alpha sin 2alpha & cos 2alpha = T2alpha

Resposta

Mostramos que .

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