Definição: Dado um vetor v=x i+y j+z k, seus ângulos diretores são os ângulos alpha, beta, gamma formados entre v e os vetores canônicos i, j e k (ou seja, os ângulos formados pelo vetor e os eixos coordenados).
(b) Seja v um vetor.
ii. Verifique que o versor de v é dado por (cos alpha, cos beta, cos gamma).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor e queremos verificar que o versor (ou vetor unitário) desse vetor é , onde são os ângulos que faz com os eixos , e respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um versor, como calcular os ângulos diretores e relacionar tudo isso para encontrar a expressão do versor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um versor. O versor de um vetor é simplesmente um vetor com a mesma direção de , mas com comprimento (ou magnitude) igual a 1. Para encontrar o versor, a gente divide cada componente de pela magnitude de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de |v| = raizx^2 + y^2 + z^2 . A fórmula para a magnitude é:
Isso vai nos dar o comprimento do vetor .

Passo 4

Em seguida, vamos lembrar o que são os ângulos diretores cos alpha = x|v|, cos beta = y|v|, cos gamma = z|v| . Eles são os ângulos que o vetor forma com os eixos , e respectivamente. As cossenos desses ângulos são dados por:
Isso liga as componentes do vetor com os ângulos diretores.

Passo 5

Agora, para encontrar o versor v = v|v| = ( x|v|, y|v|, z|v| ) de , a gente divide cada componente de pela sua magnitude:
Mas lembre-se que , e .

Resposta

Então, o versor de é dado por .

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