Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, a gente tem dois vetores no plano cartesiano: v1 = (2, 1) e v2 = (-1, 2). O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os versores desses vetores, que são basicamente os vetores com o mesmo sentido, mas com comprimento igual a 1. Depois, vamos usar esses versores para formar uma combinação linear específica: w = 2 u1 - u2. Para isso, vamos precisar entender como calcular a magnitude de um vetor e como normalizar um vetor para obter o versor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor v = (x, y) é:
|v| = raizx^2 + y^2
Então, para v1 = (2, 1):
|v1| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
E para v2 = (-1, 2):
|v2| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Passo 3
Agora que temos as magnitudes, vamos encontrar os versores u1 e u2. A fórmula para o versor de um vetor v é:
u = v|v|
Aplicando isso aos nossos vetores:
Para v1:
u1 = (2, 1)raiz5 = ( 2raiz5, 1raiz5 )
Para v2:
u2 = (-1, 2)raiz5 = ( -1raiz5, 2raiz5 )
Passo 4
Agora, vamos montar a combinação linear w = 2 u1 - u2. Vamos substituir os versores que encontramos:
w = 2 ( 2raiz5, 1raiz5 ) - ( -1raiz5, 2raiz5 )
Vamos fazer as operações de multiplicação e subtração:
Os versores são u1 = ( 2raiz5, 1raiz5 ) e u2 = ( -1raiz5, 2raiz5 ). A combinação linear w = 2 u1 - u2 resulta no vetor w = ( raiz5, 0 ). No plano cartesiano, w será representado como um vetor que parte da origem até o ponto (raiz5, 0).