Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Para matrizes A e B de ordem n, vale (A+B)^t=A^t+B^t.
( ) Se A é uma matriz 2 times 2 tal que A^2=02, então A=02.
( ) É possível somar matrizes com ordem diferentes.
( ) Se A é uma matriz de ordem 10 times 20 e B uma matriz de ordem 20 times 50, então A B tem ordem 10 times 50.
( ) Se A é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, A^2=A ), então A=I2 ou A=02.
( ) Para quaisquer matrizes A e B, de ordem n, vale a relação (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2.
( ) Para quaisquer matrizes A e B de ordem n, tem-se (A+B)(A-B)=A^2-B^2.
( ) Para qualquer matriz X, de ordem m times n, existe o produto X X^t.
( ) Se P=(cc1 & 0 0 & -1), então P^1000=I2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma lista de sentenças sobre matrizes e precisa descobrir se cada uma é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como transposição, soma e multiplicação de matrizes, além de propriedades específicas das matrizes idempotentes e nilpotentes. Vamos passo a passo analisar cada sentença.

Passo 2

Sentença 1: Para matrizes e de ordem , vale .
Essa é uma propriedade fundamental das matrizes. A transposição distribui sobre a soma, ou seja, a transposta da soma é igual à soma das transpostas.
Resposta: Verdadeira (V)

Passo 3

Sentença 2: Se é uma matriz tal que , então .
Nem sempre uma matriz quadrada que ao ser elevada ao quadrado resulta na matriz nula é a própria matriz nula. Há matrizes não nulas chamadas de nilpotentes que satisfazem essa condição.
Resposta: Falsa (F)

Passo 4

Sentença 3: É possível somar matrizes com ordens diferentes.
Para somar duas matrizes, elas precisam ter exatamente a mesma quantidade de linhas e colunas. Se as ordens forem diferentes, a soma não está definida.
Resposta: Falsa (F)

Passo 5

Sentença 4: Se é uma matriz de ordem e uma matriz de ordem , então tem ordem .
A multiplicação de matrizes (de ordem ) e (de ordem ) resulta em uma matriz de ordem . Nesse caso, multiplicado por .
Resposta: Verdadeira (V)

Passo 6

Sentença 5: Se é uma matriz diagonal e idempotente (isto é, ), então ou .
Uma matriz idempotente satisfaz . Para matrizes diagonais, isso implica que cada elemento da diagonal deve satisfazer , o que significa que cada é 0 ou 1. Portanto, existem outras possibilidades além de e , como matrizes com 1 e 0 na diagonal.
Resposta: Falsa (F)

Passo 7

Sentença 6: Para quaisquer matrizes e , de ordem , vale a relação .
Essa relação só é válida se , ou seja, se e comutam. Em geral, matrizes não necessariamente comutam, então a fórmula não se aplica sempre.
Resposta: Falsa (F)

Passo 8

Sentença 7: Para quaisquer matrizes e de ordem , tem-se .
Expandindo o produto , temos . Isso só resulta em se . Como não é garantido que matrizes qualquer comutem, a sentença não é sempre verdadeira.
Resposta: Falsa (F)

Passo 9

Sentença 8: Para qualquer matriz , de ordem , existe o produto .
Multiplicar (de ) por sua transposta (de ) é sempre possível e resulta em uma matriz de ordem .
Resposta: Verdadeira (V)

Passo 10

Sentença 9: Se 1 & 0 0 & -1, então .
Observando a matriz , percebemos que elevar a uma potência par resulta na matriz identidade , já que .
Resposta: Verdadeira (V)

Resposta

  1. V
  2. F
  3. F
  4. V
  5. F
  6. F
  7. F
  8. V
  9. V

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