Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Para matrizes
e
de ordem
, vale
.
( ) Se
é uma matriz
tal que
, então
.
( ) É possível somar matrizes com ordem diferentes.
( ) Se
é uma matriz de ordem
e
uma matriz de ordem
, então
tem ordem
.
( ) Se
é uma matriz diagonal e idempotente (isto é,
), então
ou
.
( ) Para quaisquer matrizes
e
, de ordem
, vale a relação
.
( ) Para quaisquer matrizes
e
de ordem
, tem-se
.
( ) Para qualquer matriz
, de ordem
, existe o produto
.
( ) Se
, então
.
( ) Para matrizes
( ) Se
( ) É possível somar matrizes com ordem diferentes.
( ) Se
( ) Se
( ) Para quaisquer matrizes
( ) Para quaisquer matrizes
( ) Para qualquer matriz
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma lista de sentenças sobre matrizes e precisa descobrir se cada uma é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como transposição, soma e multiplicação de matrizes, além de propriedades específicas das matrizes idempotentes e nilpotentes. Vamos passo a passo analisar cada sentença.
Passo 2
Sentença 1: Para matrizes
e
de ordem
, vale
.
Essa é uma propriedade fundamental das matrizes. A transposição distribui sobre a soma, ou seja, a transposta da soma é igual à soma das transpostas.
Resposta: Verdadeira (V)
Passo 3
Sentença 2: Se
é uma matriz
tal que
, então
.
Nem sempre uma matriz quadrada que ao ser elevada ao quadrado resulta na matriz nula é a própria matriz nula. Há matrizes não nulas chamadas de nilpotentes que satisfazem essa condição.
Resposta: Falsa (F)
Passo 4
Sentença 3: É possível somar matrizes com ordens diferentes.
Para somar duas matrizes, elas precisam ter exatamente a mesma quantidade de linhas e colunas. Se as ordens forem diferentes, a soma não está definida.
Resposta: Falsa (F)
Passo 5
Sentença 4: Se
é uma matriz de ordem
e
uma matriz de ordem
, então
tem ordem
.
A multiplicação de matrizes
(de ordem
) e
(de ordem
) resulta em uma matriz de ordem
. Nesse caso,
multiplicado por
dá
.
Resposta: Verdadeira (V)
Passo 6
Sentença 5: Se
é uma matriz diagonal e idempotente (isto é,
), então
ou
.
Uma matriz idempotente satisfaz
. Para matrizes diagonais, isso implica que cada elemento da diagonal deve satisfazer
, o que significa que cada
é 0 ou 1. Portanto, existem outras possibilidades além de
e
, como matrizes com 1 e 0 na diagonal.
Resposta: Falsa (F)
Passo 7
Sentença 6: Para quaisquer matrizes
e
, de ordem
, vale a relação
.
Essa relação só é válida se
, ou seja, se
e
comutam. Em geral, matrizes não necessariamente comutam, então a fórmula não se aplica sempre.
Resposta: Falsa (F)
Passo 8
Sentença 7: Para quaisquer matrizes
e
de ordem
, tem-se
.
Expandindo o produto
, temos
. Isso só resulta em
se
. Como não é garantido que matrizes qualquer comutem, a sentença não é sempre verdadeira.
Resposta: Falsa (F)
Passo 9
Sentença 8: Para qualquer matriz
, de ordem
, existe o produto
.
Multiplicar
(de
) por sua transposta
(de
) é sempre possível e resulta em uma matriz de ordem
.
Resposta: Verdadeira (V)
Passo 10
Sentença 9: Se
, então
.
Observando a matriz
, percebemos que elevar
a uma potência par resulta na matriz identidade
, já que
.
Resposta: Verdadeira (V)
Resposta
- V
- F
- F
- V
- F
- F
- F
- V
- V