Para cada número real
, considere a matriz de rotação
. Obtenha a matriz inversa de
. É verdade que
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes de rotação, que são aquelas que giram pontos no plano. A matriz dada é:
Queremos encontrar a matriz inversa dessa matriz de rotação, ou seja, uma matriz que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade. Além disso, precisamos verificar se a inversa é igual à transposta dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz inversa de uma matriz 2x2 geral:
é dada por:
No caso da nossa matriz
, temos:
Calculando o determinante:
Então, a matriz inversa é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de
. A transposta de uma matriz troca as linhas pelas colunas:
Comparando
e
, vemos que elas são iguais:
Isso significa que, para matrizes de rotação, a inversa é igual à transposta.
Resposta
A matriz inversa de
é igual à sua transposta, ou seja,
.