Para cada número real alpha, considere a matriz de rotação Talpha=(cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha). Obtenha a matriz inversa de Talpha. É verdade que (Talpha)^-1=(Talpha)^t ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes de rotação, que são aquelas que giram pontos no plano. A matriz dada é:
Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha
Queremos encontrar a matriz inversa dessa matriz de rotação, ou seja, uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Além disso, precisamos verificar se a inversa é igual à transposta dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz inversa de uma matriz 2x2 geral:
A = a & b c & d
é dada por:
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
No caso da nossa matriz a = cos alpha, b = -sin alpha, c = sin alpha, d = cos alpha , temos:
ad - bc = cos alpha cdot cos alpha - (-sin alpha) cdot sin alpha = cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1
Calculando o determinante:
Talpha^-1 = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
Então, a matriz inversa é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de Talpha^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha . A transposta de uma matriz troca as linhas pelas colunas:
Talpha^-1 = Talpha^t
Comparando e , vemos que elas são iguais:
Isso significa que, para matrizes de rotação, a inversa é igual à transposta.

Resposta

A matriz inversa de é igual à sua transposta, ou seja, .

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