Utilize determinantes para encontrar o valor m in R de modo que o sistema linear x+3 y-z & =0 m x-y+4 z & =5 5 x+y+7 z & =0 admita soluções diferentes da trivial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa achar o valor de tal que o sistema tenha soluções diferentes da trivial. Isso significa que o sistema deve ter infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar determinantes, que nos ajudam a saber se um sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. As equações são:
x + 3y - z = 0 m x - y + 4z = 5 5x + y + 7z = 0
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 3 & -1 m & -1 & 4 5 & 1 & 7

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot -1 & 4 1 & 7 - 3 cdot m & 4 5 & 7 + (-1) cdot m & -1 5 & 1 precisa ser igual a zero. Vamos calcular esse determinante.
-1 & 4 1 & 7 = (-1)(7) - (4)(1) = -7 - 4 = -11
Calculando cada menor:
m & 4 5 & 7 = m cdot 7 - 4 cdot 5 = 7m - 20
m & -1 5 & 1 = m cdot 1 - (-1) cdot 5 = m + 5

Passo 4

Substituindo os valores encontrados no determinante:
det(A) = 1 cdot (-11) - 3 cdot (7m - 20) + (-1) cdot (m + 5)
Simplificando:
det(A) = -11 - 21m + 60 - m - 5
det(A) = (-11 + 60 - 5) + (-21m - m)
det(A) = 44 - 22m

Passo 5

Para ter infinitas soluções, precisamos que 44 - 22m = 0 :
-22m = -44
Resolvendo para m = 2 :

Resposta

O valor de que faz com que o sistema admita soluções diferentes da trivial é .

Exercícios relacionados