Considere a matriz A=[lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]. Mostrar que A é invertível e calcular A^-1 através das operações elementares entre linhas (escalonamento).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para ver se a matriz 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 é invertível e, se for, encontrar a sua inversa usando operações elementares entre linhas, tipo o escalonamento. Para isso, vamos precisar saber sobre determinantes e como usar o método de escalonamento para encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot 1 & 2 1 & 2 - 1 cdot 1 & 2 0 & 2 + 1 cdot 1 & 1 0 & 1 :
det(A) = 1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 2) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1)
det(A) = 1 cdot (2 - 2) - 1 cdot (2 - 0) + 1 cdot (1 - 0)
det(A) = 0 - 2 + 1 = -1
Como o determinante é , a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que [ccc|ccc 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 ] tem inversa, vamos encontrar usando o método de escalonamento. Para isso, vamos montar uma matriz aumentada com à esquerda e a matriz identidade à direita:
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda em uma matriz identidade usando operações elementares nas linhas, e a parte da direita se tornará .

Passo 5

Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro 1 (na posição (2,1)). Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda:
L2 = L2 - L1
[ccc|ccc 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Em seguida, vamos trocar a segunda e a terceira linha para ter um pivô não nulo na segunda linha:
Trocar L2 e L3
[ccc|ccc 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento acima do pivô da segunda linha (posição (1,2)). Para isso, subtraímos a segunda linha da primeira:
L1 = L1 - L2
[ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 8

Por fim, vamos zerar o elemento acima do pivô da terceira linha (posição (1,3)). Para isso, adicionamos a terceira linha à primeira:
L1 = L1 + L3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 ]

Resposta

A matriz inversa A^-1 = 0 & 1 & -1 1 & -2 & 1 -1 & 1 & 0 é:

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