Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A^-1=A^T. Determine os valores y e z reais de modo que a matriz
(ccc 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & y & z )
seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada e precisa descobrir os valores reais de e para que essa matriz seja ortogonal. Matriz ortogonal significa que ela é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais e produto interno. Vamos precisar calcular transpostas, multiplicações de matrizes e garantir que as colunas tenham norma 1 e sejam ortogonais entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & y & z e sua transposta A^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & y 0 & raiz22 & z . A matriz é:
A transposta troca linhas por colunas:

Passo 3

Para A cdot A^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & y & z cdot 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & y 0 & raiz22 & z ser ortogonal, precisa satisfazer , onde é a matriz identidade. Vamos multiplicar por :

Passo 4

Vamos calcular cada entrada da matriz resultante A cdot A^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & raiz22(y + z) 0 & raiz22(y + z) & y^2 + z^2 :
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então, a matriz fica:

Passo 5

Para que I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 seja ortogonal, 1 = 1 0 = 0 0 = 0 0 = 0 1 = 1 raiz22(y + z) = 0 0 = 0 raiz22(y + z) = 0 y^2 + z^2 = 1 deve ser igual à matriz identidade :
Igualando as matrizes:

Passo 6

Da equação raiz22(y + z) = 0 implies y + z = 0 implies y = -z , podemos resolver para (-z)^2 + z^2 = 1 implies z^2 + z^2 = 1 implies 2z^2 = 1 implies z^2 = 12 implies z = pm raiz22 :
Agora, substituímos na última equação :

Passo 7

Agora que temos , e lembrando que , podemos encontrar :
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

Os valores reais que tornam a matriz ortogonal são:
y = -raiz22 e z = raiz22
ou
y = raiz22 e z = -raiz22

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