Uma matriz quadrada se diz ortogonal se é inversível e . Determine os valores e reais de modo que a matriz
seja ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada e precisa descobrir os valores reais de e para que essa matriz seja ortogonal. Matriz ortogonal significa que ela é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais e produto interno. Vamos precisar calcular transpostas, multiplicações de matrizes e garantir que as colunas tenham norma 1 e sejam ortogonais entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & y & z e sua transposta A^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & y 0 & raiz22 & z . A matriz é:
A transposta troca linhas por colunas:
Passo 3
Para A cdot A^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & y & z cdot 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & y 0 & raiz22 & z ser ortogonal, precisa satisfazer , onde é a matriz identidade. Vamos multiplicar por :