Determine todos os valores de lambda in C para os quais det(A-lambda I3)=0, em que
A=(ccc 2 & 2 & 3 0 & 2 & 1 0 & -2 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Isso está relacionado à parte de Álgebra Linear que estuda valores próprios ou autovalores de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que fazem esse determinante ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A - lambda I3 = 2 - lambda & 2 & 3 0 & 2 - lambda & 1 0 & -2 & 1 - lambda . A matriz identidade é uma matriz 3x3 com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições. Então, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A - lambda I3) = (2 - lambda) cdot 2 - lambda & 1 -2 & 1 - lambda - 2 cdot 0 & 1 0 & 1 - lambda + 3 cdot 0 & 2 - lambda 0 & -2

Passo 4

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. 2 - lambda & 1 -2 & 1 - lambda
  2. 0 & 1 0 & 1 - lambda
  3. 0 & 2 - lambda 0 & -2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I3) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) + 2] - 2 cdot 0 + 3 cdot 0
Simplificando:
det(A - lambda I3) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) + 2]

Passo 6

Vamos expandir o termo dentro dos colchetes:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 2 cdot 1 - 2 cdot lambda - lambda cdot 1 + lambda^2 = 2 - 3lambda + lambda^2
Então:
(2 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) + 2] = (2 - lambda)[2 - 3lambda + lambda^2 + 2] = (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 4)

Passo 7

Agora, temos a equação do determinante igual a zero:
(2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 4) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 8

Vamos resolver a segunda equação quadrática:
lambda^2 - 3lambda + 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 - 162 = 3 pm raiz-72 = 3 pm iraiz72

Resposta

Os valores de lambda = 2, lambda = 3 + iraiz72, e lambda = 3 - iraiz72 que satisfazem são:

Exercícios relacionados