*Para cada número real alpha, considere a matriz
Talpha=(cc cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha )
Mostre que Talpha Tbeta=Talpha+beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, para quaisquer números reais e , a multiplicação das matrizes e resulta na matriz . Aqui, estamos lidando com matrizes de rotação, que são usadas para girar vetores no plano. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar as duas matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes Talpha = cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha , Tbeta = cos beta & -sen beta sen beta & cos beta e Talpha Tbeta = cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha cos beta & -sen beta sen beta & cos beta :
Agora, vamos multiplicar por :

Passo 3

Vamos realizar a multiplicação das matrizes passo a passo. Lembre-se que, para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda.
Calculando cada entrada:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
  1. Primeira linha, segunda coluna:
  1. Segunda linha, primeira coluna:
  1. Segunda linha, segunda coluna:
Portanto, a matriz resultante é:

Passo 4

Agora, vamos lembrar das fórmulas de adição para o cosseno e seno:
Com base nisso, podemos reescrever a matriz resultante usando essas identidades:

Resposta

Portanto, mostramos que , como queríamos demonstrar.

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