*Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, para quaisquer números reais
e
, a multiplicação das matrizes
e
resulta na matriz
. Aqui, estamos lidando com matrizes de rotação, que são usadas para girar vetores no plano. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar as duas matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes
e
:
Agora, vamos multiplicar
por
:
Passo 3
Vamos realizar a multiplicação das matrizes passo a passo. Lembre-se que, para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda.
Calculando cada entrada:
- Primeira linha, primeira coluna:
- Primeira linha, segunda coluna:
- Segunda linha, primeira coluna:
- Segunda linha, segunda coluna:
Portanto, a matriz resultante é:
Passo 4
Agora, vamos lembrar das fórmulas de adição para o cosseno e seno:
Com base nisso, podemos reescrever a matriz resultante usando essas identidades:
Resposta
Portanto, mostramos que
, como queríamos demonstrar.