Prove que:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que precisamos provar. O exercício nos pede para demonstrar que a soma de três produtos vetoriais duplos resulta no vetor nulo, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar propriedades dos produtos vetoriais, especificamente a fórmula do produto vetorial duplo. Também precisaremos das propriedades distributivas do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto vetorial duplo:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar expressões que envolvem produtos vetoriais duplos.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula do produto vetorial duplo a cada um dos três termos da expressão original.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 4
Agora, vamos somar os três termos que obtivemos:
Passo 5
Observamos que os termos com coeficientes similares se cancelam:
-
e cancelam porque . -
e também se cancelam pelo mesmo motivo. -
e igualmente se anulam.
Passo 6
Após o cancelamento de todos os termos, sobramos com:
Resposta
Assim, demonstramos que: