Prove que:
(u wed>= v) wed>= w+(w wed>= u) wed>= v+(v wed>= w) wed>= u=0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que precisamos provar. O exercício nos pede para demonstrar que a soma de três produtos vetoriais duplos resulta no vetor nulo, ou seja:
(u times v) times w + (w times u) times v + (v times w) times u = 0
Para resolver isso, vamos usar propriedades dos produtos vetoriais, especificamente a fórmula do produto vetorial duplo. Também precisaremos das propriedades distributivas do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto vetorial duplo:
(a times b) times c = b (a cdot c) - a (b cdot c)
Essa fórmula nos ajuda a simplificar expressões que envolvem produtos vetoriais duplos.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do produto vetorial duplo a cada um dos três termos da expressão original.
Primeiro termo:
(u times v) times w = v (u cdot w) - u (v cdot w)
Segundo termo:
(w times u) times v = u (w cdot v) - w (u cdot v)
Terceiro termo:
(v times w) times u = w (v cdot u) - v (w cdot u)

Passo 4

Agora, vamos somar os três termos que obtivemos:
& [v (u cdot w) - u (v cdot w)] + & [u (w cdot v) - w (u cdot v)] + & [w (v cdot u) - v (w cdot u)] = & v (u cdot w) - u (v cdot w) + u (w cdot v) - w (u cdot v) + & w (v cdot u) - v (w cdot u)

Passo 5

Observamos que os termos com coeficientes similares se cancelam:
  • v (u cdot w) e - v (w cdot u) cancelam porque u cdot w = w cdot u.
  • - u (v cdot w) e + u (w cdot v) também se cancelam pelo mesmo motivo.
  • - w (u cdot v) e + w (v cdot u) igualmente se anulam.

Passo 6

Após o cancelamento de todos os termos, sobramos com:
0

Resposta

Assim, demonstramos que:
(u times v) times w + (w times u) times v + (v times w) times u = 0

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