Considere os vetores a=-imath-jmath-3 k e b=imath+2 jmath+2 k.
c) Determine um vetor w de modo que u, v, w seja uma base ortogonal positiva de R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: a = -imath - jmath - 3k e b = imath + 2jmath + 2k. O objetivo aqui é encontrar um terceiro vetor, w, de modo que os três vetores formem uma base ortogonal positiva para R^3. Isso significa que os vetores precisam ser mutuamente perpendiculares e seguir a regra da mão direita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortogonal positiva. Uma base ortogonal tem vetores que são todos perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou ponto) entre qualquer par de vetores é zero. Já a positividade da base indica que a orientação da base segue a regra da mão direita, o que geralmente envolve o uso do produto vetorial.

Passo 3

Para achar o vetor w que seja perpendicular tanto a a quanto a b, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Então, vamos calcular a times b.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial passo a passo:
w = a times b = imath & jmath & k -1 & -1 & -3 1 & 2 & 2
Calculando o determinante:
w = imath cdot [(-1)(2) - (-3)(2)] - jmath cdot [(-1)(2) - (-3)(1)] + k cdot [(-1)(2) - (-1)(1)]
Simplificando:
w = imath cdot (-2 + 6) - jmath cdot (-2 + 3) + k cdot (-2 + 1)
w = 4imath - 1jmath -1k

Passo 5

Agora, para garantir que a base seja positiva, precisamos verificar a orientação. O produto vetorial que fizemos já garante que w está seguindo a regra da mão direita em relação a a e b. Portanto, não precisamos ajustar nada aqui.

Resposta

O vetor w que forma uma base ortogonal positiva com a e b é:
w = 4imath - jmath - k

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