Considere os vetores e .
c) Determine um vetor de modo que seja uma base ortogonal positiva de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . O objetivo aqui é encontrar um terceiro vetor, , de modo que os três vetores formem uma base ortogonal positiva para . Isso significa que os vetores precisam ser mutuamente perpendiculares e seguir a regra da mão direita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortogonal positiva. Uma base ortogonal tem vetores que são todos perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou ponto) entre qualquer par de vetores é zero. Já a positividade da base indica que a orientação da base segue a regra da mão direita, o que geralmente envolve o uso do produto vetorial.
Passo 3
Para achar o vetor que seja perpendicular tanto a quanto a , a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Então, vamos calcular .
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial passo a passo:
Calculando o determinante:
w = imath cdot [(-1)(2) - (-3)(2)] - jmath cdot [(-1)(2) - (-3)(1)] + k cdot [(-1)(2) - (-1)(1)]
Simplificando:
w = imath cdot (-2 + 6) - jmath cdot (-2 + 3) + k cdot (-2 + 1)
w = 4imath - 1jmath -1k
Passo 5
Agora, para garantir que a base seja positiva, precisamos verificar a orientação. O produto vetorial que fizemos já garante que w está seguindo a regra da mão direita em relação a a e b. Portanto, não precisamos ajustar nada aqui.
Resposta
O vetor w que forma uma base ortogonal positiva com a e b é: