Considere os vetores e .
d) Determine as coordenadas de na base .
Boa prova!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e uma base formada por . Nosso objetivo aqui é descobrir como o vetor se representa nessa base. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base qualquer, que envolve resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
Aqui, , e são as coordenadas que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos escrever os vetores na base padrão . Supondo que , e sejam conhecidos, podemos expressar cada um deles em termos de , e . Por exemplo:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação de :
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos essa expressão com . Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de , e , que são as coordenadas de na base .
Resposta
As coordenadas de na base são , onde , e são soluções do sistema de equações acima. Sem os valores específicos de , e , não é possível determinar numericamente essas coordenadas.