Considere os vetores a=-imath-jmath-3 k e b=imath+2 jmath+2 k.
d) Determine as coordenadas de r=imath+jmath na base u, v, w.

Boa prova!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e uma base formada por . Nosso objetivo aqui é descobrir como o vetor se representa nessa base. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base qualquer, que envolve resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor r = xu + yv + zw pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
Aqui, , e são as coordenadas que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos escrever os vetores na base padrão u = a1imath + a2jmath + a3k . Supondo que v = b1imath + b2jmath + b3k , w = c1imath + c2jmath + c3k e sejam conhecidos, podemos expressar cada um deles em termos de , e . Por exemplo:

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação de r = x(a1imath + a2jmath + a3k) + y(b1imath + b2jmath + b3k) + z(c1imath + c2jmath + c3k) :

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
r = (x a1 + y b1 + z c1)imath + (x a2 + y b2 + z c2)jmath + (x a3 + y b3 + z c3)k

Passo 6

Agora, igualamos essa expressão com x a1 + y b1 + z c1 = 1 x a2 + y b2 + z c2 = 1 x a3 + y b3 + z c3 = 0 . Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de , e , que são as coordenadas de na base .

Resposta

As coordenadas de na base são , onde , e são soluções do sistema de equações acima. Sem os valores específicos de , e , não é possível determinar numericamente essas coordenadas.

Exercícios relacionados