*Para cada número real , considere a matriz
Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para qualquer número real e , ao multiplicar duas matrizes e , o resultado é a matriz . Isso está dentro da matéria de matrizes e trigonometria, especialmente envolvendo matrizes de rotação. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes que vamos multiplicar. As matrizes de rotação têm a seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de duas matrizes e resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de . Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:

Passo 4

Vamos simplificar cada elemento usando as identidades trigonométricas:
  1. Primeiro elemento (canto superior esquerdo):
(Aqui usamos a identidade da soma de ângulos para o cosseno.)
  1. Segundo elemento (canto superior direito):
(Usamos a identidade da soma de ângulos para o seno.)
  1. Terceiro elemento (canto inferior esquerdo):
(Identidade da soma de ângulos para o seno.)
  1. Quarto elemento (canto inferior direito):
(Novamente, identidade da soma de ângulos para o cosseno.)

Passo 5

Com todas as partes simplificadas, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(a) os vértices e os focos .
(b) os focos e as assíntotas .
© os focos e , e o comprimento da corda por um dos focos, perpendicular a .
(d) os focos e .
(e) as assíntotas , e um ponto da hipérbole, .
Seja a transformação linear definida por . Quais dos seguintes vetores estäo em Nuc (T)?
©
Sejam e matrizes triangulares superiores. Mostre que é uma matriz triangular superior com diagonal , .
Escreva a equação reduzida da parábola com vértice na origem nos seguintes casos: Foco .