*Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para qualquer número real
e
, ao multiplicar duas matrizes
e
, o resultado é a matriz
. Isso está dentro da matéria de matrizes e trigonometria, especialmente envolvendo matrizes de rotação. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas matrizes que vamos multiplicar. As matrizes de rotação têm a seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
. A multiplicação de duas matrizes
e
resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos das linhas de
pelas colunas de
. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Passo 4
Vamos simplificar cada elemento usando as identidades trigonométricas:
- Primeiro elemento (canto superior esquerdo):
(Aqui usamos a identidade da soma de ângulos para o cosseno.)
- Segundo elemento (canto superior direito):
(Usamos a identidade da soma de ângulos para o seno.)
- Terceiro elemento (canto inferior esquerdo):
(Identidade da soma de ângulos para o seno.)
- Quarto elemento (canto inferior direito):
(Novamente, identidade da soma de ângulos para o cosseno.)
Passo 5
Com todas as partes simplificadas, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.