*Para cada número real alpha, considere a matriz
Talpha=(cc cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha )
Mostre que Talpha Tbeta=Talpha+beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para qualquer número real e , ao multiplicar duas matrizes e , o resultado é a matriz . Isso está dentro da matéria de matrizes e trigonometria, especialmente envolvendo matrizes de rotação. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes que vamos multiplicar. As matrizes de rotação têm a seguinte forma:
Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha e Tbeta = cos beta & -sin beta sin beta & cos beta

Passo 3

Agora, vamos multiplicar Talpha Tbeta = cos alpha cdot cos beta + (-sin alpha) cdot sin beta & cos alpha cdot (-sin beta) + (-sin alpha) cdot cos beta sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta & sin alpha cdot (-sin beta) + cos alpha cdot cos beta por . A multiplicação de duas matrizes e resulta em uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de . Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:

Passo 4

Vamos simplificar cada elemento usando as identidades trigonométricas:
  1. Primeiro elemento (canto superior esquerdo):
cos alpha cos beta - sin alpha sin beta = cos(alpha + beta)
(Aqui usamos a identidade da soma de ângulos para o cosseno.)
  1. Segundo elemento (canto superior direito):
cos alpha (-sin beta) - sin alpha cos beta = -(cos alpha sin beta + sin alpha cos beta) = -sin(alpha + beta)
(Usamos a identidade da soma de ângulos para o seno.)
  1. Terceiro elemento (canto inferior esquerdo):
sin alpha cos beta + cos alpha sin beta = sin(alpha + beta)
(Identidade da soma de ângulos para o seno.)
  1. Quarto elemento (canto inferior direito):
sin alpha (-sin beta) + cos alpha cos beta = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta = cos(alpha + beta)
(Novamente, identidade da soma de ângulos para o cosseno.)

Passo 5

Com todas as partes simplificadas, temos:
Talpha Tbeta = cos(alpha + beta) & -sin(alpha + beta) sin(alpha + beta) & cos(alpha + beta)

Resposta

Portanto, mostramos que .

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