Sejam A=(ai j)n times n e B=(bi j)n times n matrizes triangulares superiores. Mostre que A B é uma matriz triangular superior com diagonal a11 b11, a22 b22, ldots, an n bn n.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes triangulares superiores, e , de tamanho . Nosso objetivo é mostrar que o produto dessas duas matrizes, , também é uma matriz triangular superior e que os elementos da diagonal principal de são os produtos correspondentes dos elementos das diagonais de e , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes triangulares superiores e como a multiplicação de matrizes funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para toda matriz triangular superior , temos que para todo . Isso significa que os elementos na diagonal e acima dela podem ser quaisquer números, mas os abaixo da diagonal são sempre zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar na multiplicação de duas matrizes cij = sumk=1^n aik bkj e . O elemento da matriz produto é calculado pela soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de pelos elementos da j-ésima coluna de :
Como ambas as matrizes e são triangulares superiores, sabemos que para e para .

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando no cálculo de . Se , para cada , ou seja, para cada termo da soma :
  • Se , pode ser não zero, mas porque (já que e ).
  • Se , porque .
Portanto, todos os termos são zero quando , o que implica que para . Isso mostra que também é uma matriz triangular superior.

Passo 5

Agora, vamos verificar os elementos da diagonal principal de cii = sumk=1^n aik bki . Para cii = aii bii , o elemento é dado por:
Mas, como e são triangulares superiores, para . Assim, a única contribuição para a soma vem quando :
Portanto, cada elemento da diagonal principal de é o produto dos elementos correspondentes das diagonais de e .

Resposta

Concluímos que o produto é uma matriz triangular superior e que seus elementos da diagonal principal são .

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