Sejam
e
matrizes triangulares superiores. Mostre que
é uma matriz triangular superior com diagonal
,
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes triangulares superiores,
e
, de tamanho
. Nosso objetivo é mostrar que o produto dessas duas matrizes,
, também é uma matriz triangular superior e que os elementos da diagonal principal de
são os produtos correspondentes dos elementos das diagonais de
e
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes triangulares superiores e como a multiplicação de matrizes funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para toda matriz triangular superior
, temos que
para todo
. Isso significa que os elementos na diagonal e acima dela podem ser quaisquer números, mas os abaixo da diagonal são sempre zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar na multiplicação de duas matrizes
e
. O elemento
da matriz produto
é calculado pela soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de
pelos elementos da j-ésima coluna de
:
Como ambas as matrizes
e
são triangulares superiores, sabemos que
para
e
para
.
Passo 4
Vamos analisar o que acontece quando
no cálculo de
. Se
, para cada
, ou seja, para cada termo da soma
:
- Se
, pode ser não zero, mas porque (já que e ). - Se
, porque .
Portanto, todos os termos
são zero quando
, o que implica que
para
. Isso mostra que
também é uma matriz triangular superior.
Passo 5
Agora, vamos verificar os elementos da diagonal principal de
. Para
, o elemento
é dado por:
Mas, como
e
são triangulares superiores,
para
. Assim, a única contribuição para a soma vem quando
:
Portanto, cada elemento da diagonal principal de
é o produto dos elementos correspondentes das diagonais de
e
.
Resposta
Concluímos que o produto
é uma matriz triangular superior e que seus elementos da diagonal principal são
.
Exercícios relacionados
*Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(a) os vértices e os focos
.
(b) os focos e as assíntotas
.
© os focos e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
(d) os focos e
.
(e) as assíntotas , e um ponto da hipérbole,
.
(a) os vértices
(b) os focos
© os focos
(d) os focos
(e) as assíntotas
Escreva a equação reduzida da parábola com vértice na origem nos seguintes casos: Foco
.
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas
).
(b) Faça um esboço da reta dada no item (a) juntamente com os dois sistemas de coordenadas.
(a) Escreva a equação da reta
(b) Faça um esboço da reta dada no item (a) juntamente com os dois sistemas de coordenadas.