Seja T: P2 P3 a transformação linear definida por T(p(x))=x p(x). Quais dos seguintes vetores estäo em Nuc (T)?
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Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos verificar se o vetor está no núcleo de , ou seja, se .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o núcleo de uma transformação linear consiste em todos os vetores tais que . Então, para verificar se está no núcleo de , precisamos aplicar a e ver se o resultado é o vetor zero.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(1 + x) = x cdot (1 + x) a . De acordo com a definição de :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar x cdot 1 + x cdot x = x + x^2 por cada termo dentro do parêntese:
T(1 + x) = x + x^2
Portanto, temos:

Passo 5

Para que x + x^2 neq 0 esteja no núcleo de , o resultado da transformação deve ser o vetor zero. Vamos verificar:
Como não é igual a zero, concluímos que não está no núcleo de .

Resposta

O vetor não está no núcleo de .

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