Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(a) os vértices
e os focos
.
(b) os focos
e as assíntotas
.
© os focos
e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
(d) os focos
e
.
(e) as assíntotas
, e um ponto da hipérbole,
.
(a) os vértices
(b) os focos
© os focos
(d) os focos
(e) as assíntotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! Você me deu os vértices na posição
e os focos em
. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, mais especificamente com hipérboles. Para montar a equação reduzida da hipérbole, vamos precisar saber como usar as informações dos vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices e focos estão distribuídos simetricamente em relação à origem e no eixo x, o centro está na origem
. Isso significa que a hipérbole está alinhada horizontalmente.
Passo 3
A equação reduzida de uma hipérbole que se abre horizontalmente e tem o centro na origem é dada por:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
é a distância do centro aos focos. Essas duas medidas estão relacionadas pela fórmula:
$$
c^2 = a^2 + b^2
```
c^2 = a^2 + b^2
```
Passo 4
Vamos usar os dados fornecidos:
- Vértices:
, então . - Focos:
, então .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
usando a relação entre
,
e
:
$$
c^2 = a^2 + b^2 \
3^2 = 2^2 + b^2 \
9 = 4 + b^2 \
b^2 = 5
```
c^2 = a^2 + b^2 \
3^2 = 2^2 + b^2 \
9 = 4 + b^2 \
b^2 = 5
```
Passo 6
Com os valores de
e
conhecidos, substituímos na equação reduzida da hipérbole:
$$
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
```
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
```
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é
.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear definida por
. Quais dos seguintes vetores estäo em Nuc (T)?
©
©
*Dadas duas matrizes simétricas
e
de ordem
.
(a) Prove que é simétrica.
(b) Prove que se , então
é simétrica.
(a) Prove que
(b) Prove que se
*Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Sejam
e
matrizes triangulares superiores. Mostre que
é uma matriz triangular superior com diagonal
,
.