Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(a) os vértices e os focos .
(b) os focos e as assíntotas .
© os focos e , e o comprimento da corda por um dos focos, perpendicular a .
(d) os focos e .
(e) as assíntotas , e um ponto da hipérbole, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! Você me deu os vértices na posição e os focos em . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, mais especificamente com hipérboles. Para montar a equação reduzida da hipérbole, vamos precisar saber como usar as informações dos vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices e focos estão distribuídos simetricamente em relação à origem e no eixo x, o centro está na origem . Isso significa que a hipérbole está alinhada horizontalmente.

Passo 3

A equação reduzida de uma hipérbole que se abre horizontalmente e tem o centro na origem é dada por:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos focos. Essas duas medidas estão relacionadas pela fórmula:
$$
c^2 = a^2 + b^2
```

Passo 4

Vamos usar os dados fornecidos:
  • Vértices: , então .
  • Focos: , então .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de usando a relação entre , e :
$$
c^2 = a^2 + b^2 \
3^2 = 2^2 + b^2 \
9 = 4 + b^2 \
b^2 = 5
```

Passo 6

Com os valores de e conhecidos, substituímos na equação reduzida da hipérbole:
$$
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
```

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é .

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Seja a transformação linear definida por . Quais dos seguintes vetores estäo em Nuc (T)?
©
*Dadas duas matrizes simétricas e de ordem .
(a) Prove que é simétrica.
(b) Prove que se , então é simétrica.
*Para cada número real , considere a matriz
Mostre que .
Sejam e matrizes triangulares superiores. Mostre que é uma matriz triangular superior com diagonal , .