Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(a) os vértices ( pm 2,0) e os focos ( pm 3,0).
(b) os focos ( pm 5,0) e as assíntotas 2 y= pm x.
© os focos F1 e F2,( pm 5,0), e o comprimento L=9 / 2 da corda por um dos focos, perpendicular a F1 F2.
(d) os focos (3,4),(-1,-2) e a=1.
(e) as assíntotas y= pm x, e um ponto da hipérbole, (5,9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! Você me deu os vértices na posição ( pm 2,0) e os focos em ( pm 3,0). Estamos trabalhando com Geometria Analítica, mais especificamente com hipérboles. Para montar a equação reduzida da hipérbole, vamos precisar saber como usar as informações dos vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices e focos estão distribuídos simetricamente em relação à origem e no eixo x, o centro está na origem (0,0). Isso significa que a hipérbole está alinhada horizontalmente.

Passo 3

A equação reduzida de uma hipérbole que se abre horizontalmente e tem o centro na origem é dada por:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro aos vértices, e c é a distância do centro aos focos. Essas duas medidas estão relacionadas pela fórmula:
$$
c^2 = a^2 + b^2
```

Passo 4

Vamos usar os dados fornecidos:
  • Vértices: ( pm 2,0), então a = 2.
  • Focos: ( pm 3,0), então c = 3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de b usando a relação entre a, b e c:
$$
c^2 = a^2 + b^2 \
3^2 = 2^2 + b^2 \
9 = 4 + b^2 \
b^2 = 5
```

Passo 6

Com os valores de a^2 e b^2 conhecidos, substituímos na equação reduzida da hipérbole:
$$
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
```

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é x^24 - y^25 = 1.

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