Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz
definida assim:
O objetivo é mostrar que
é igual à transposição de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que significa transpor uma matriz e como os ângulos negativos funcionam nas funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposição de uma matriz. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se temos:
Sua transposta
será:
Aplicando isso à nossa matriz
:
Passo 3
Agora, vamos construir a matriz
. Substituindo
por
na definição original de
:
Sabemos que:
-
(a função cosseno é par) -
(a função seno é ímpar)
Substituindo essas identidades, temos:
Passo 4
Comparando as duas matrizes que obtivemos:
e
Vemos que são exatamente iguais. Portanto, mostramos que
.
Resposta
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Dados os vetores
e
, calcule:
Dados os vetores
e
, calcule:
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.