Para cada número real alpha, considere a matriz
Talpha=(cc cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha )
Mostre que T-alpha=Talpha^t.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha definida assim:
O objetivo é mostrar que é igual à transposição de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que significa transpor uma matriz e como os ângulos negativos funcionam nas funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposição de uma matriz. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se temos:
Talpha = a & b c & d
Sua transposta Talpha^t = a & c b & d será:
Talpha^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz T-alpha = cos (-alpha) & -sin (-alpha) sin (-alpha) & cos (-alpha) . Substituindo T-alpha = cos alpha & -(-sin alpha) -sin alpha & cos alpha = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha por na definição original de :
Sabemos que:
  • (a função cosseno é par)
  • (a função seno é ímpar)
Substituindo essas identidades, temos:

Passo 4

Comparando as duas matrizes que obtivemos:
Talpha^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
e
T-alpha = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
Vemos que são exatamente iguais. Portanto, mostramos que .

Resposta

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