Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz
definida assim:
O objetivo é mostrar que
é igual à transposição de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que significa transpor uma matriz e como os ângulos negativos funcionam nas funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposição de uma matriz. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se temos:
Sua transposta
será:
Aplicando isso à nossa matriz
:
Passo 3
Agora, vamos construir a matriz
. Substituindo
por
na definição original de
:
Sabemos que:
-
(a função cosseno é par) -
(a função seno é ímpar)
Substituindo essas identidades, temos:
Passo 4
Comparando as duas matrizes que obtivemos:
e
Vemos que são exatamente iguais. Portanto, mostramos que
.