Para cada número real , considere a matriz
Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz definida assim:
O objetivo é mostrar que é igual à transposição de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que significa transpor uma matriz e como os ângulos negativos funcionam nas funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposição de uma matriz. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se temos:
Sua transposta será:
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz . Substituindo por na definição original de :
Sabemos que:
  • (a função cosseno é par)
  • (a função seno é ímpar)
Substituindo essas identidades, temos:

Passo 4

Comparando as duas matrizes que obtivemos:
e
Vemos que são exatamente iguais. Portanto, mostramos que .

Resposta

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Dados os vetores e , calcule:
Dados os vetores e , calcule:
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.