Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
25 x^2+75 x-9754+16 y^2-80 y=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas x y ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas x y, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cônicas juntos! A equação que temos é:
25 x^2+75 x-9754+16 y^2-80 y=0
Vamos precisar utilizar conceitos de álgebra para completar os quadrados e identificar a cônica representada por essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 25x^2 + 75x + 16y^2 - 80y = 9754 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 25(x^2 + 3x) + 16y^2 - 80y = 9754 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2 + 3x = x^2 + 3x + (32)^2 - (32)^2 = (x + 32)^2 - 94 :
25(x + 32)^2 - 2254
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Multiplicando pelo 25:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de 25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y^2 - 5y) = 9754 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de y^2 - 5y = y^2 - 5y + (52)^2 - (52)^2 = (y - 52)^2 - 254 :
16(y - 52)^2 - 100
Completando o quadrado para :
Multiplicando pelo 16:

Passo 5

Substituímos de volta na equação:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y - 52)^2 - 100 = 9754
Somando os termos constantes:
-2254 - 100 = -2254 - 4004 = -6254
Então:
25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 - 6254 = 9754

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos:
25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 = 9754 + 6254 = 16004 = 400
Dividimos tudo por 400 para deixar na forma padrão:
(x + 32)^216 + (y - 52)^225 = 1

Passo 7

Agora, identificamos a forma reduzida da equação. Ela está na forma de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando, temos:
h = -32, k = 52, a^2 = 16 Rightarrow a = 4, b^2 = 25 Rightarrow b = 5

Passo 8

Agora, vamos para a parte (a): Determinar a mudança de coordenadas e identificar a cônica. Já fizemos a mudança de coordenadas para e , e identificamos que a cônica é uma elipse.

Passo 9

Passando para a parte (b): Determinar as coordenadas dos vértices e focos da elipse no novo sistema de coordenadas (h, k pm b) = (-32, 52 pm 5) = (-32, 152) e (-32, -52) .
Para uma elipse, os vértices estão a uma distância (-32, 52 pm 3) = (-32, 112) e (-32, -12) ao longo do eixo maior. Neste caso, , então o eixo maior é vertical.
Coordenadas dos vértices:
Para os focos, calculamos .
Coordenadas dos focos:

Passo 10

As equações das assíntotas e pontos do eixo conjugado não se aplicam a uma elipse, pois essas características pertencem a hipérboles.

Passo 11

Finalmente, para a parte ©, esboçar a curva. Sabemos que é uma elipse com centro em , eixo maior vertical com comprimento e eixo menor horizontal com comprimento . Os vértices estão em e , e os focos em e .

Resposta

(a) A mudança de coordenadas é e , e a cônica representada é uma elipse.
(b) No sistema , os vértices são e , os focos são e . Não há assíntotas nem eixo conjugado para esta elipse.
© A elipse está centrada em com eixo maior vertical de comprimento 10 e eixo menor horizontal de comprimento 8.

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