Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cônicas juntos! A equação que temos é:
Vamos precisar utilizar conceitos de álgebra para completar os quadrados e identificar a cônica representada por essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Multiplicando pelo 25:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado para
:
Multiplicando pelo 16:
Passo 5
Substituímos de volta na equação:
Somando os termos constantes:
Então:
Passo 6
Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos tudo por 400 para deixar na forma padrão:
Passo 7
Agora, identificamos a forma reduzida da equação. Ela está na forma de uma elipse:
Comparando, temos:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (a): Determinar a mudança de coordenadas e identificar a cônica. Já fizemos a mudança de coordenadas para
e
, e identificamos que a cônica é uma elipse.
Passo 9
Passando para a parte (b): Determinar as coordenadas dos vértices e focos da elipse no novo sistema de coordenadas
.
Para uma elipse, os vértices estão a uma distância
ao longo do eixo maior. Neste caso,
, então o eixo maior é vertical.
Coordenadas dos vértices:
Para os focos, calculamos
.
Coordenadas dos focos:
Passo 10
As equações das assíntotas e pontos do eixo conjugado não se aplicam a uma elipse, pois essas características pertencem a hipérboles.
Passo 11
Finalmente, para a parte ©, esboçar a curva. Sabemos que é uma elipse com centro em
, eixo maior vertical com comprimento
e eixo menor horizontal com comprimento
. Os vértices estão em
e
, e os focos em
e
.
Resposta
(a) A mudança de coordenadas é
e
, e a cônica representada é uma elipse.
(b) No sistema
, os vértices são
e
, os focos são
e
. Não há assíntotas nem eixo conjugado para esta elipse.
© A elipse está centrada em
com eixo maior vertical de comprimento 10 e eixo menor horizontal de comprimento 8.
Exercícios relacionados
Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
Dados os vetores
e
, calcule:
Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.
*Seja
, encontre as matrizes
e
, se existirem.