Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cônicas juntos! A equação que temos é:
Vamos precisar utilizar conceitos de álgebra para completar os quadrados e identificar a cônica representada por essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Multiplicando pelo 25:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado para :
Multiplicando pelo 16:

Passo 5

Substituímos de volta na equação:
Somando os termos constantes:
Então:

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos tudo por 400 para deixar na forma padrão:

Passo 7

Agora, identificamos a forma reduzida da equação. Ela está na forma de uma elipse:
Comparando, temos:

Passo 8

Agora, vamos para a parte (a): Determinar a mudança de coordenadas e identificar a cônica. Já fizemos a mudança de coordenadas para e , e identificamos que a cônica é uma elipse.

Passo 9

Passando para a parte (b): Determinar as coordenadas dos vértices e focos da elipse no novo sistema de coordenadas .
Para uma elipse, os vértices estão a uma distância ao longo do eixo maior. Neste caso, , então o eixo maior é vertical.
Coordenadas dos vértices:
Para os focos, calculamos .
Coordenadas dos focos:

Passo 10

As equações das assíntotas e pontos do eixo conjugado não se aplicam a uma elipse, pois essas características pertencem a hipérboles.

Passo 11

Finalmente, para a parte ©, esboçar a curva. Sabemos que é uma elipse com centro em , eixo maior vertical com comprimento e eixo menor horizontal com comprimento . Os vértices estão em e , e os focos em e .

Resposta

(a) A mudança de coordenadas é e , e a cônica representada é uma elipse.
(b) No sistema , os vértices são e , os focos são e . Não há assíntotas nem eixo conjugado para esta elipse.
© A elipse está centrada em com eixo maior vertical de comprimento 10 e eixo menor horizontal de comprimento 8.

Exercícios relacionados

Para cada número real , considere a matriz
Mostre que .
Dados os vetores e , calcule:
Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.
*Seja , encontre as matrizes e , se existirem.