Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa transformar a equação dada em forma canônica, identificar o centro, os vértices (tanto reais quanto imaginários), os focos, as assíntotas e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre as hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de um jeito mais fácil de trabalhar. Vamos mover o 36 para o outro lado:
Passo 3
Agora, queremos que o lado direito seja 1, então vamos dividir tudo por -36:
Simplificando as frações:
Para ficar na forma padrão, vamos trocar os termos de posição:
Passo 4
A equação canônica da hipérbole vertical é
. Comparando com a nossa equação, temos:
então
,
então
.
Passo 5
O centro da hipérbole é o ponto
. Como não há termos de
ou
que indiquem deslocamento, o centro está na origem:
Centro: .
Centro:
Passo 6
Os vértices de uma hipérbole vertical estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
. Então:
Vértices reais: e
.
Vértices reais:
Passo 7
Os vértices imaginários são ao longo do eixo
e estão a uma distância
do centro. Então:
Vértices imaginários: e
.
Vértices imaginários:
Passo 8
Os focos estão a uma distância
do centro, onde
. Vamos calcular:
Então, os focos são:
Focos: e
.
Focos:
Passo 9
As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas pelas retas
. Calculando:
Então, as assíntotas são:
Assíntotas: e
.
Assíntotas:
Passo 10
Agora, vamos resumir todas as informações e fazer um esboço do gráfico:
- Equação canônica:
- Centro:
- Vértices reais:
e - Vértices imaginários:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
Resposta
A hipérbole na forma canônica é
, com centro em
, vértices reais em
e
, vértices imaginários em
e
, focos em
e
, assíntotas
e
, e o gráfico da hipérbole esboçado conforme essas informações.
Exercícios relacionados
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Para cada número real
, considere a matriz
Mostre que
.
*Seja
, encontre as matrizes
e
, se existirem.
Considerando o espaço euclidiano
, calcular
nos seguintes casos:
b) .
Solução
b) .
b)
Solução
b)