Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico. 9 x^2-4 y^2+36=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa transformar a equação dada em forma canônica, identificar o centro, os vértices (tanto reais quanto imaginários), os focos, as assíntotas e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre as hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação 9x^2 - 4y^2 = -36 de um jeito mais fácil de trabalhar. Vamos mover o 36 para o outro lado:

Passo 3

Agora, queremos que o lado direito seja 1, então vamos dividir tudo por -36:
9x^2-36 - 4y^2-36 = 1
Simplificando as frações:
-x^24 + y^29 = 1
Para ficar na forma padrão, vamos trocar os termos de posição:
y^29 - x^24 = 1

Passo 4

A equação canônica da hipérbole vertical é . Comparando com a nossa equação, temos:
então ,
então .

Passo 5

O centro da hipérbole é o ponto . Como não há termos de ou que indiquem deslocamento, o centro está na origem:
Centro: .

Passo 6

Os vértices de uma hipérbole vertical estão a uma distância do centro ao longo do eixo . Então:
Vértices reais: e .

Passo 7

Os vértices imaginários são ao longo do eixo e estão a uma distância do centro. Então:
Vértices imaginários: e .

Passo 8

Os focos estão a uma distância c = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,6 do centro, onde . Vamos calcular:
Então, os focos são:
Focos: e .

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas pelas retas ab = 32. Calculando:
Então, as assíntotas são:
Assíntotas: e .

Passo 10

Agora, vamos resumir todas as informações e fazer um esboço do gráfico:
  • Equação canônica:
  • Centro:
  • Vértices reais: e
  • Vértices imaginários: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e

Resposta

A hipérbole na forma canônica é , com centro em , vértices reais em e , vértices imaginários em e , focos em e , assíntotas e , e o gráfico da hipérbole esboçado conforme essas informações.

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