Dados os vetores u=(1,2,-3) e v=(-2,1,2), calcule:
projv^u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a projeção do vetor u = (1, 2, -3) no vetor v = (-2, 1, 2). Isso está relacionado à matéria de Álgebra Vetorial, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção e entender como calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de um vetor u sobre outro vetor v. A fórmula é:
projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar entre os vetores u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores:
u cdot v = (1)(-2) + (2)(1) + (-3)(2) = -2 + 2 - 6 = -6

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v. Isso é basicamente o quadrado da magnitude do vetor v:
v cdot v = (-2)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 5

Com os valores que encontramos, vamos substituir na fórmula da projeção:
projv,u = ( -69 ) v = -23 v

Passo 6

Agora, vamos multiplicar o escalar -23 pelo vetor v:
projv,u = -23 cdot (-2, 1, 2) = ( 43, -23, -43 )

Resposta

A projeção de u sobre v é ( 43, -23, -43 ).

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