Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x^2 + m x + 2.
a) Determine, em termos de m, as coordenadas do vértice da parábola y = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as coordenadas do vértice da parábola definida pela função quadrática , onde é um número real. A matéria envolvida aqui é Funções Quadráticas, e para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o vértice de uma parábola a partir da sua equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . O vértice dessa parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dependendo se a parábola está voltada para cima ou para baixo.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vértice, usamos a fórmula que nos dá a posição do vértice baseado nos coeficientes e da função quadrática. A coordenada do vértice é dada por:
E a coordenada do vértice é simplesmente , ou seja, substituímos na função original.

Passo 4

No nosso caso, a função é . Aqui, identificamos os coeficientes:
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos encontrar substituindo na função:
Vamos calcular cada parte:
Então:

Resposta

As coordenadas do vértice da parábola são:

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