Para cada número real , considere a função quadrática .
a) Determine, em termos de , as coordenadas do vértice da parábola .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as coordenadas do vértice da parábola definida pela função quadrática , onde é um número real. A matéria envolvida aqui é Funções Quadráticas, e para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o vértice de uma parábola a partir da sua equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . O vértice dessa parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dependendo se a parábola está voltada para cima ou para baixo.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vértice, usamos a fórmula que nos dá a posição do vértice baseado nos coeficientes e da função quadrática. A coordenada do vértice é dada por:
E a coordenada do vértice é simplesmente , ou seja, substituímos na função original.

Passo 4

No nosso caso, a função é . Aqui, identificamos os coeficientes:
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos encontrar substituindo na função:
Vamos calcular cada parte:
Então:

Resposta

As coordenadas do vértice da parábola são:

Exercícios relacionados

(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) ;
Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
©
Uma conta de colar é enfiada em um arame fino com o formato da parábola . Do ponto de coordenadas , deixa-se a conta deslizar até chegar ao ponto de ordenada -6 . Qual a distância horizontal percorrida pela conta?