Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma região limitada pela reta e pela parábola . Queremos encontrar o volume do sólido que resulta quando essa região é girada em torno da reta . Vamos usar o método dos discos ou anéis para resolver isso.

Passo 2

Para usar o método dos anéis, precisamos identificar as funções que delimitam a região . As curvas são (reta) e (parábola). Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 3

Igualamos as funções para encontrar os limites de integração:
Então, as interseções ocorrem em e . Portanto, integraremos de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos visualizar a rotação em torno da reta . Para isso, precisamos calcular o raio externo e o raio interno de cada anel. O raio externo é a distância da curva mais distante da reta de rotação, e o raio interno é a distância da curva mais próxima.

Passo 5

As distâncias dos eixos das curvas até a reta são:
para a reta , e
para a parábola .
No entanto, percebemos que está abaixo de no intervalo [0,1], então ajustamos os raios:

Passo 6

O volume de cada anel é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Vamos expandir os termos:
Subtraindo:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão de 0 a 1:

Passo 9

Vamos calcular a integral:
Avaliada de 0 a 1:
Calculando os valores:

Passo 10

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) ;
Para cada número real , considere a função quadrática .
a) Determine, em termos de , as coordenadas do vértice da parábola .