Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
e) da reta
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma região
limitada pela reta
e pela parábola
. Queremos encontrar o volume do sólido que resulta quando essa região é girada em torno da reta
. Vamos usar o método dos discos ou anéis para resolver isso.
Passo 2
Para usar o método dos anéis, precisamos identificar as funções que delimitam a região
. As curvas são
(reta) e
(parábola). Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 3
Igualamos as funções para encontrar os limites de integração:
Então, as interseções ocorrem em
e
. Portanto, integraremos de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a rotação em torno da reta
. Para isso, precisamos calcular o raio externo e o raio interno de cada anel. O raio externo é a distância da curva mais distante da reta de rotação, e o raio interno é a distância da curva mais próxima.
Passo 5
As distâncias dos eixos das curvas até a reta
são:
para a reta
, e
para a parábola
.
No entanto, percebemos que
está abaixo de
no intervalo [0,1], então ajustamos os raios:
Passo 6
O volume de cada anel é dado por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Vamos expandir os termos:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão de 0 a 1:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Avaliada de 0 a 1:
Calculando os valores:
Passo 10
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
d) da reta
(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) ;
a)
Para cada número real
, considere a função quadrática
.
a) Determine, em termos de , as coordenadas do vértice da parábola
.
a) Determine, em termos de