(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) integral sen(x^2) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de ² em relação a . Para isso, vamos usar séries de potências, que são uma ferramenta matemática que permite representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Isso vai nos ajudar a calcular a integral mesmo quando ela não pode ser expressa de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função seno em uma série de potências. A expansão da série de Taylor para sin(t) = sumn=0^infty (-1)^n t^2n+1(2n+1)! é:
Isso significa que podemos escrever como a soma de infinitos termos envolvendo potências ímpares de , com sinais alternados.

Passo 3

No nosso caso, queremos a função sin(x²) = sumn=0^infty (-1)^n (x²)^2n+1(2n+1)! ². Então, substituímos sin(x²) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! por ² na série:
²²
Simplificando o expoente:
²

Passo 4

Agora, queremos integrar integral sin(x²) , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral x^4n+2 , dx ² em relação a . Podemos fazer isso integrando termo a termo a série de potências:
²

Passo 5

Vamos calcular a integral de cada termo integral x^4n+2 , dx = x^4n+34n+3 + C :
Onde é a constante de integração. Como estamos integrando uma série inteira, a constante será adicionada no final.

Resposta

Assim, a integral de integral sin(x²) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(4n+3)(2n+1)! + C ² em termos de séries de potências é:
²
Onde é a constante de integração.

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