(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de
em relação a
. Para isso, vamos usar séries de potências, que são uma ferramenta matemática que permite representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Isso vai nos ajudar a calcular a integral mesmo quando ela não pode ser expressa de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função seno em uma série de potências. A expansão da série de Taylor para
é:
Isso significa que podemos escrever
como a soma de infinitos termos envolvendo potências ímpares de
, com sinais alternados.
Passo 3
No nosso caso, queremos a função
. Então, substituímos
por
na série:
Simplificando o expoente:
Passo 4
Agora, queremos integrar
em relação a
. Podemos fazer isso integrando termo a termo a série de potências:
Passo 5
Vamos calcular a integral de cada termo
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos integrando uma série inteira, a constante
será adicionada no final.
Resposta
Assim, a integral de
em termos de séries de potências é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
e) da reta
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Para cada número real
, considere a função quadrática
.
a) Determine, em termos de , as coordenadas do vértice da parábola
.
a) Determine, em termos de
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