(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de ² em relação a . Para isso, vamos usar séries de potências, que são uma ferramenta matemática que permite representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Isso vai nos ajudar a calcular a integral mesmo quando ela não pode ser expressa de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função seno em uma série de potências. A expansão da série de Taylor para é:
Isso significa que podemos escrever como a soma de infinitos termos envolvendo potências ímpares de , com sinais alternados.

Passo 3

No nosso caso, queremos a função ². Então, substituímos por ² na série:
²²
Simplificando o expoente:
²

Passo 4

Agora, queremos integrar ² em relação a . Podemos fazer isso integrando termo a termo a série de potências:
²

Passo 5

Vamos calcular a integral de cada termo :
Onde é a constante de integração. Como estamos integrando uma série inteira, a constante será adicionada no final.

Resposta

Assim, a integral de ² em termos de séries de potências é:
²
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Para cada número real , considere a função quadrática .
a) Determine, em termos de , as coordenadas do vértice da parábola .
©