Resolva as seguintes P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial do primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou identificar se a equação é exata. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. Temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão do lado direito. Podemos dividir cada termo separadamente:
Então, temos:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por para facilitar a separação de variáveis:
Sabemos que . Então:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para deixá-la em termos de :
Essa é uma equação diferencial linear para . Podemos usar o fator integrante para resolver.

Passo 6

Identificamos a equação na forma:
Onde , , e .
O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante :
A equação fica:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituímos :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 11

Substituímos na equação de :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada dos dois lados (considerando a solução positiva, já que ):

Resposta

A solução da P.V.I. é:

Exercícios relacionados

(d)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    c)
Para cada número real , considere a função quadrática .
c) Determine o valor de para o qual e é crescente em .
(i)