Resolva as seguintes P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial do primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou identificar se a equação é exata. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. Temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão do lado direito. Podemos dividir cada termo separadamente:
Então, temos:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados por
para facilitar a separação de variáveis:
Sabemos que
. Então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para deixá-la em termos de
:
Essa é uma equação diferencial linear para
. Podemos usar o fator integrante para resolver.
Passo 6
Identificamos a equação na forma:
Onde
,
, e
.
O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante
:
A equação fica:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Substituímos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 11
Substituímos
na equação de
:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada dos dois lados (considerando a solução positiva, já que
):
Resposta
A solução da P.V.I. é:
Exercícios relacionados
(d)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
c)
Para cada número real
, considere a função quadrática
.
c) Determine o valor de para o qual
e
é crescente em
.
c) Determine o valor de
(i)