Para cada número real
, considere a função quadrática
.
b) Determine os valores de
para os quais
.
b) Determine os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções quadráticas, especificamente da forma
. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de
o conjunto
está dentro da imagem dessa função. Ou seja, queremos que toda saída da função seja pelo menos 1 ou maior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a imagem (ou o conjunto de valores possíveis) de uma função quadrática. A função geral é
. O gráfico dessa função é uma parábola. Se
, a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. Se
, abre para baixo e tem um ponto máximo.
No nosso caso,
(positivo), então a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. A imagem da função será então todos os valores maiores ou iguais a esse ponto mínimo.
Passo 3
Para encontrar o ponto mínimo da função, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada
do vértice é dada por:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função, que é
. Substituindo
na função original:
Simplificando:
Passo 5
Queremos que a imagem da função seja
. Como a função tem um ponto mínimo, esse valor mínimo precisa ser igual a 1 para que todos os valores acima também estejam na imagem. Portanto:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Portanto,
ou
.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
(h)
Calcule a integral
com
e
a superfície do cilindro
e
.
(e)