Para cada número real , considere a função quadrática .
b) Determine os valores de para os quais .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções quadráticas, especificamente da forma . O que a gente precisa descobrir é para quais valores de o conjunto está dentro da imagem dessa função. Ou seja, queremos que toda saída da função seja pelo menos 1 ou maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a imagem (ou o conjunto de valores possíveis) de uma função quadrática. A função geral é . O gráfico dessa função é uma parábola. Se , a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. Se , abre para baixo e tem um ponto máximo.
No nosso caso, (positivo), então a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. A imagem da função será então todos os valores maiores ou iguais a esse ponto mínimo.

Passo 3

Para encontrar o ponto mínimo da função, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função, que é . Substituindo na função original:
Simplificando:

Passo 5

Queremos que a imagem da função seja . Como a função tem um ponto mínimo, esse valor mínimo precisa ser igual a 1 para que todos os valores acima também estejam na imagem. Portanto:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Portanto, ou .

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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(h)
Calcule a integral
com e a superfície do cilindro e .
.
(e)