Calcule a integral
com e a superfície do cilindro e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral de superfície
onde , e é a superfície do cilindro com .
Vamos precisar usar o conceito de derivadas direcionais e a interpretação vetorial da integral de superfície para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Essa expressão representa a derivada direcional de na direção normal à superfície . A derivada direcional na direção normal é calculada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor normal unitário :
O mesmo vale para .

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície do cilindro . Para o cilindro , o vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais:
A equação do cilindro é .
O gradiente de é:
Portanto, o vetor normal não unitário é . Para obter o vetor normal unitário, dividimos por sua magnitude:
porque .

Passo 5

Substituindo os gradientes e o vetor normal na expressão da integral:
Substituímos e :
Simplificando as multiplicações:
Factorizando :

Passo 6

Vamos calcular :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro para facilitar a integração. Em coordenadas cilíndricas:
onde varia de a e varia de a .
O elemento de área para o cilindro é .

Passo 8

Substituindo as parametrizações na integral:
Primeiro, expressamos em termos de :
Expressamos :
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando os termos:

Passo 10

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 11

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Sabemos que:
Então, a segunda parte é zero.

Passo 12

Voltando à integral original:

Resposta

A integral calculada é

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Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    e)
Determine os valores máximos e mínimos da função:
(h)
Para cada número real , considere a função quadrática .
b) Determine os valores de para os quais .