Calcule a integral
com
e
a superfície do cilindro
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral de superfície
onde
,
e
é a superfície do cilindro
com
.
Vamos precisar usar o conceito de derivadas direcionais e a interpretação vetorial da integral de superfície para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Essa expressão representa a derivada direcional de
na direção normal à superfície
. A derivada direcional na direção normal é calculada pelo produto escalar do gradiente de
com o vetor normal unitário
:
O mesmo vale para
.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície do cilindro
. Para o cilindro
, o vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais:
A equação do cilindro é
.
O gradiente de
é:
Portanto, o vetor normal não unitário é
. Para obter o vetor normal unitário, dividimos por sua magnitude:
porque
.
Passo 5
Substituindo os gradientes e o vetor normal na expressão da integral:
Substituímos
e
:
Simplificando as multiplicações:
Factorizando
:
Passo 6
Vamos calcular
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro para facilitar a integração. Em coordenadas cilíndricas:
onde
varia de
a
e
varia de
a
.
O elemento de área
para o cilindro é
.
Passo 8
Substituindo as parametrizações na integral:
Primeiro, expressamos
em termos de
:
Expressamos
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando os termos:
Passo 10
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 11
Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Sabemos que:
Então, a segunda parte é zero.
Passo 12
Voltando à integral original:
Resposta
A integral calculada é
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Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
e)
Determine os valores máximos e mínimos da função:
(h)
Para cada número real
, considere a função quadrática
.
b) Determine os valores de para os quais
.
b) Determine os valores de