Calcule a integral
integral duplaS(g partial fpartial n-f partial gpartial n) d S
com f=x^2+y^2+x+2 z, g=x^2+y^2+x+z e S a superfície do cilindro x^2+y^2=a^2 e 0 <= z <= h.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral de superfície
integral duplaS(g partial fpartial n - f partial gpartial n) dS
onde , e é a superfície do cilindro com .
Vamos precisar usar o conceito de derivadas direcionais e a interpretação vetorial da integral de superfície para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é partial fpartial n = nabla f cdot n . Essa expressão representa a derivada direcional de na direção normal à superfície . A derivada direcional na direção normal é calculada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor normal unitário :
O mesmo vale para .

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x + 1, 2y, 2) e nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (2x + 1, 2y, 1) :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal nabla F = (2x, 2y, 0) à superfície do cilindro n = (2x, 2y, 0)raiz(2x)^2 + (2y)^2 + 0^2 = (x, y, 0)raizx^2 + y^2 = ( xa, ya, 0 ) . Para o cilindro , o vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais:
A equação do cilindro é .
O gradiente de é:
Portanto, o vetor normal não unitário é . Para obter o vetor normal unitário, dividimos por sua magnitude:
porque .

Passo 5

Substituindo os gradientes e o vetor normal na expressão da integral:
integral duplaS ( g (nabla f cdot n) - f (nabla g cdot n) ) dS
Substituímos = integral duplaS [ g ( (2x + 1)xa + 2y ya + 2 cdot 0 ) - f ( (2x + 1)xa + 2y ya + 1 cdot 0 ) ] dS e = integral duplaS [ g ( (2x + 1)x + 2y^2a ) - f ( (2x + 1)x + 2y^2a ) ] dS :
= integral duplaS ( g - f ) (2x + 1)x + 2y^2a dS
Simplificando as multiplicações:
Factorizando :

Passo 6

Vamos calcular g - f = (x^2 + y^2 + x + z) - (x^2 + y^2 + x + 2z) = -z :
= integral duplaS (-z) cdot (2x + 1)x + 2y^2a dS = -1a integral duplaS z ( (2x + 1)x + 2y^2 ) dS
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro para facilitar a integração. Em coordenadas cilíndricas:
x = a costheta y = a sintheta z = z
onde varia de a e varia de a .
O elemento de área para o cilindro é .

Passo 8

Substituindo as parametrizações na integral:
Primeiro, expressamos (2x + 1)x + 2y^2 = 2x^2 + x + 2y^2 em termos de 2(a costheta)^2 + a costheta + 2(a sintheta)^2 = 2a^2 cos^2theta + a costheta + 2a^2 sin^2theta :
  • = 2a^2 (cos^2theta + sin^2theta) + a costheta = 2a^2 (1) + a costheta = 2a^2 + a costheta
Expressamos :
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos tudo na integral:
-1a integral0^2pi integral0^h z (2a^2 + a costheta) cdot a , dz dtheta
Simplificando os termos:
-1a cdot a integral0^2pi integral0^h z (2a^2 + a costheta) , dz dtheta = - integral0^2pi integral0^h z (2a^2 + a costheta) , dz dtheta

Passo 10

Vamos separar a integral em duas partes:
- integral0^2pi integral0^h (2a^2 z + a z costheta) , dz dtheta = - ( 2a^2 integral0^2pi integral0^h z , dz dtheta + a integral0^2pi integral0^h z costheta , dz dtheta )

Passo 11

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
2a^2 integral0^2pi integral0^h z , dz dtheta = 2a^2 integral0^2pi [ z^22 ]0^h dtheta = 2a^2 integral0^2pi h^22 dtheta = 2a^2 cdot h^22 cdot 2pi = 2a^2 h^2 pi
Segunda parte:
a integral0^2pi integral0^h z costheta , dz dtheta = a integral0^2pi costheta [ z^22 ]0^h dtheta = a cdot h^22 integral0^2pi costheta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0
Então, a segunda parte é zero.

Passo 12

Voltando à integral original:
- ( 2a^2 h^2 pi + 0 ) = -2a^2 h^2 pi

Resposta

A integral calculada é
-2 a^2 h^2 pi

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