Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma matriz de rotação que depende de um número real . Nosso objetivo é mostrar que, ao multiplicar duas dessas matrizes, e , o resultado é outra matriz de rotação com o ângulo somado, ou seja, . Para isso, vamos precisar mexer com multiplicação de matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas matrizes e usando a fórmula dada:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar por . Lembrando como se multiplica matrizes 2x2, fazemos cada entrada da nova matriz somando os produtos correspondentes:
Passo 4
Vamos simplificar cada entrada da matriz resultante:
Primeira entrada (linha 1, coluna 1):
Primeira entrada (linha 1, coluna 2):
Segunda entrada (linha 2, coluna 1):
Segunda entrada (linha 2, coluna 2):
Passo 5
Agora, observamos que as expressões que obtivemos são exatamente as fórmulas das identidades trigonométricas para o cosseno da soma de dois ângulos:
Substituindo essas identidades nas entradas da matriz, temos: