Para cada número real
seja
a matriz dada por
(a) Mostre que
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma matriz de rotação
que depende de um número real
. Nosso objetivo é mostrar que, ao multiplicar duas dessas matrizes,
e
, o resultado é outra matriz de rotação com o ângulo somado, ou seja,
. Para isso, vamos precisar mexer com multiplicação de matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas matrizes
e
usando a fórmula dada:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
. Lembrando como se multiplica matrizes 2x2, fazemos cada entrada da nova matriz somando os produtos correspondentes:
Passo 4
Vamos simplificar cada entrada da matriz resultante:
-
Primeira entrada (linha 1, coluna 1):
-
Primeira entrada (linha 1, coluna 2):
-
Segunda entrada (linha 2, coluna 1):
-
Segunda entrada (linha 2, coluna 2):
Passo 5
Agora, observamos que as expressões que obtivemos são exatamente as fórmulas das identidades trigonométricas para o cosseno da soma de dois ângulos:
Substituindo essas identidades nas entradas da matriz, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.