Para cada número real t seja Rt a matriz dada por
(ll cos t & -sen t sen t & cos t )
(a) Mostre que Rs Rt=Rs+t;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma matriz de rotação que depende de um número real . Nosso objetivo é mostrar que, ao multiplicar duas dessas matrizes, e , o resultado é outra matriz de rotação com o ângulo somado, ou seja, . Para isso, vamos precisar mexer com multiplicação de matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes Rs = cos s & -sin s sin s & cos s e Rt = cos t & -sin t sin t & cos t e usando a fórmula dada:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar Rs Rt = cos s cdot cos t + (-sin s) cdot sin t & cos s cdot (-sin t) + (-sin s) cdot cos t sin s cdot cos t + cos s cdot sin t & sin s cdot (-sin t) + cos s cdot cos t por . Lembrando como se multiplica matrizes 2x2, fazemos cada entrada da nova matriz somando os produtos correspondentes:

Passo 4

Vamos simplificar cada entrada da matriz resultante:
  1. Primeira entrada (linha 1, coluna 1):
    cos s cos t - sin s sin t
  2. Primeira entrada (linha 1, coluna 2):
    -cos s sin t - sin s cos t = -(cos s sin t + sin s cos t)
  3. Segunda entrada (linha 2, coluna 1):
    sin s cos t + cos s sin t
  4. Segunda entrada (linha 2, coluna 2):
    -sin s sin t + cos s cos t = cos s cos t - sin s sin t

Passo 5

Agora, observamos que as expressões que obtivemos são exatamente as fórmulas das identidades trigonométricas para o cosseno da soma de dois ângulos:
cos(s + t) = cos s cos t - sin s sin t
sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t
Substituindo essas identidades nas entradas da matriz, temos:
Rs Rt = cos(s + t) & -sin(s + t) sin(s + t) & cos(s + t) = Rs+t

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados