Para cada número real seja a matriz dada por
(a) Mostre que ;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma matriz de rotação que depende de um número real . Nosso objetivo é mostrar que, ao multiplicar duas dessas matrizes, e , o resultado é outra matriz de rotação com o ângulo somado, ou seja, . Para isso, vamos precisar mexer com multiplicação de matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes e usando a fórmula dada:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por . Lembrando como se multiplica matrizes 2x2, fazemos cada entrada da nova matriz somando os produtos correspondentes:

Passo 4

Vamos simplificar cada entrada da matriz resultante:
  1. Primeira entrada (linha 1, coluna 1):
  2. Primeira entrada (linha 1, coluna 2):
  3. Segunda entrada (linha 2, coluna 1):
  4. Segunda entrada (linha 2, coluna 2):

Passo 5

Agora, observamos que as expressões que obtivemos são exatamente as fórmulas das identidades trigonométricas para o cosseno da soma de dois ângulos:
Substituindo essas identidades nas entradas da matriz, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Determine 5 matrizes de ordem tais que , onde
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(j)
Nos exercícios seguintes determine os valores dos parâmetros envolvidos de forma que as matrizes sejam inversíveis.
©
Sendo , e matrizes reais tais que , determine .