Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(j) (lll5 & 3 & 2 0 & 7 & 1 0 & 0 & 9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de 3x3 e precisamos descobrir se ela é inversível. Se for, também vamos calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e propriedades de matrizes triangulares, que são super úteis para essa tarefa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante é como um “sinal de vida” para as matrizes; se for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Nossa matriz é:
5 & 3 & 2 0 & 7 & 1 0 & 0 & 9
Ela é uma matriz triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Calculando o determinante:
det = 5 times 7 times 9 = 315
Como o determinante é 315, que é diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 5

Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa dela. Para matrizes triangulares superiores, a inversa também será triangular superior. Podemos encontrar a inversa calculando os inversos dos elementos da diagonal e ajustando os demais elementos.

Passo 6

Primeiro, calculamos os inversos dos elementos da diagonal principal:
15 = 0,2; 17 approx 0,142857; 19 approx 0,111111

Passo 7

Agora, vamos calcular os elementos acima da diagonal. Vamos usar a fórmula para inversas de matrizes triangulares superiores:
Para o elemento na posição (1,2):
-35 times 7 = -335 approx -0,085714
Para o elemento na posição (1,3):
3 times 15 times 7 times 9 - 25 times 9 = 3315 - 245 = 1105 - 245 = -163 approx -0,015873
Para o elemento na posição (2,3):
-17 times 9 = -163 approx -0,015873

Passo 8

Juntando todos os elementos, a matriz inversa fica:
0,2 & -0,085714 & -0,015873 0 & 0,142857 & -0,015873 0 & 0 & 0,111111

Resposta

A matriz é inversível e a sua inversa é:
(ccc 0,2 & -dfrac335 & -dfrac163 0 & dfrac17 & -dfrac163 0 & 0 & dfrac19 )

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