Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de 3x3 e precisamos descobrir se ela é inversível. Se for, também vamos calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e propriedades de matrizes triangulares, que são super úteis para essa tarefa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante é como um “sinal de vida” para as matrizes; se for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Nossa matriz é:
Ela é uma matriz triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Calculando o determinante:
Como o determinante é 315, que é diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 5

Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa dela. Para matrizes triangulares superiores, a inversa também será triangular superior. Podemos encontrar a inversa calculando os inversos dos elementos da diagonal e ajustando os demais elementos.

Passo 6

Primeiro, calculamos os inversos dos elementos da diagonal principal:

Passo 7

Agora, vamos calcular os elementos acima da diagonal. Vamos usar a fórmula para inversas de matrizes triangulares superiores:
Para o elemento na posição (1,2):
Para o elemento na posição (1,3):
Para o elemento na posição (2,3):

Passo 8

Juntando todos os elementos, a matriz inversa fica:

Resposta

A matriz é inversível e a sua inversa é:

Exercícios relacionados

Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(e)
Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(d)
Determine 5 matrizes de ordem tais que , onde
Para cada número real seja a matriz dada por
(a) Mostre que ;