Determine 5 matrizes X de ordem 4 times 1 tais que A X=B, onde
A=[cccc 1 & 1 & 0 & -3 2 & -4 & -1 & 0 3 & -2 & -1 & 2 ] e B=[l 1 0 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar 5 matrizes de ordem que satisfaçam a equação . Aqui, estamos lidando com sistemas lineares envolvendo matrizes. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e espaço nulo das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais detalhada. A matriz é uma matriz , e é uma matriz . Quando multiplicamos por , obtemos a matriz que é . Isso nos dá um sistema de 3 equações com 4 incógnitas.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações a partir de 1x1 + 1x2 + 0x3 - 3x4 = 1 2x1 - 4x2 - 1x3 + 0x4 = 0 3x1 - 2x2 - 1x3 + 2x4 = 2 :
Aqui, e são as componentes da matriz .

Passo 4

Como temos mais incógnitas do que equações, o sistema é indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Para encontrar soluções específicas, podemos atribuir valores a algumas variáveis livremente e resolver as outras em termos dessas variáveis. Vamos considerar e como variáveis livres.

Passo 5

Vamos resolver o sistema para x1 + x2 - 3x4 = 1 Rightarrow x1 = 1 - x2 + 3x4 e 2x1 - 4x2 - x3 = 0 em termos de 2(1 - x2 + 3x4) - 4x2 - x3 = 0 2 - 2x2 + 6x4 - 4x2 - x3 = 0 -6x2 + 6x4 - x3 = -2 Rightarrow 6x2 = 6x4 - x3 + 2 x2 = x4 - x36 + 13 e 3x1 - 2x2 - x3 + 2x4 = 2 .
Da primeira equação:
3(1 - x2 + 3x4) - 2x2 - x3 + 2x4 = 2 3 - 3x2 + 9x4 - 2x2 - x3 + 2x4 = 2 -5x2 + 11x4 - x3 = -1
Da segunda equação:
-5(x4 - x36 + 13) + 11x4 - x3 = -1 -5x4 + 5x36 - 53 + 11x4 - x3 = -1 6x4 - x36 - 53 = -1 6x4 - x36 = 23
Substituindo da primeira:
Da terceira equação:
Substituindo e :
Substituindo da segunda equação:
Vamos optar por atribuir valores específicos a e para encontrar soluções particulares.

Passo 6

Vamos escolher valores para 23 13 0 0 e 53 -23 6 0 e encontrar 113 43 0 1 e 113 13 6 1 . A seguir, apresento 5 soluções possíveis:
Solução 1:
  • Escolha 316 116 3 2 e
  • Então,
  • Portanto,
Solução 2:
  • Escolha e
Solução 3:
  • Escolha e
Solução 4:
  • Escolha e
Solução 5:
  • Escolha e

Resposta

As 5 matrizes 23 13 0 0 que satisfazem 53 -23 6 0 são:
  1. 113 43 0 1
  2. 113 13 6 1
  3. 316 116 3 2

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