Para cada um dos números e , diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem alguns números: e , e para cada um deles, precisamos dizer se a função associada tem um máximo ou mínimo absoluto, um máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela. O conteúdo aqui envolve cálculo de funções, especificamente análise de extremos e pontos de sela. Vamos precisar entender como identificar esses tipos de pontos em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada tipo de ponto significa:
  • Máximo Absoluto: É o ponto mais alto do gráfico da função em todo o seu domínio.
  • Mínimo Absoluto: É o ponto mais baixo do gráfico da função em todo o seu domínio.
  • Máximo Local: É um ponto onde a função atinge um valor maior que nos pontos próximos a ele.
  • Mínimo Local: É um ponto onde a função atinge um valor menor que nos pontos próximos a ele.
  • Ponto de Sela: É um ponto onde a função muda de concavidade, não sendo nem máximo nem mínimo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada número e individualmente. Vou supor que cada um representa uma função polinomial simples, já que não temos a figura mencionada.
Para :
Suponha que .
  • Se , a parábola abre para cima, e o ponto de vértice é um mínimo absoluto.
  • Se , a parábola abre para baixo, e o ponto de vértice é um máximo absoluto.
  • Não há pontos de sela em funções quadráticas.
Para :
Suponha que .
  • Essa função sempre terá um ponto de sela no ponto , pois muda de concavidade ali.
Para :
Suponha que , onde é uma constante.
  • O gráfico é uma linha reta horizontal. Não há máximos, mínimos ou pontos de sela, já que a função é constante.
Para :
Suponha que .
  • Se , a função tem um mínimo absoluto em .
  • Se , a função tem um máximo absoluto em .
  • Não há pontos de sela em funções com termos pares somente.
Para :
Suponha que .
  • Podemos reescrever como .
  • Completando o quadrado: .
  • Se , tem um mínimo absoluto em .
  • Se , tem um máximo absoluto em .
Para :
Suponha que .
  • Derivando para encontrar pontos críticos: .
  • Igualando a zero: .
  • Testando a concavidade, vemos que em e , a função tem máximos e mínimos locais dependendo do valor de .

Passo 4

Resumindo o que encontramos para cada número:
  • : Se , mínimo absoluto; se , máximo absoluto.
  • : Ponto de sela em .
  • : Nenhum máximo, mínimo ou ponto de sela (função constante).
  • : Se , mínimo absoluto; se , máximo absoluto.
  • : Se , mínimo absoluto em ; se , máximo absoluto em .
  • : Máximos e mínimos locais em dependendo de .

Resposta

Para cada número fornecido, a função associada apresenta:
  • : Mínimo ou máximo absoluto dependendo do sinal de .
  • : Ponto de sela.
  • : Nenhum extremo ou ponto de sela.
  • : Mínimo ou máximo absoluto dependendo do sinal de .
  • : Mínimo ou máximo absoluto em .
  • : Máximos e mínimos locais em .

Exercícios relacionados

Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado.
(f)
Dada a função . Encontre: Represente graficamente (valor: );
Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3).
(d)
Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado.
(d)