Para cada um dos números
e
, diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem alguns números:
e
, e para cada um deles, precisamos dizer se a função associada tem um máximo ou mínimo absoluto, um máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela. O conteúdo aqui envolve cálculo de funções, especificamente análise de extremos e pontos de sela. Vamos precisar entender como identificar esses tipos de pontos em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada tipo de ponto significa:
- Máximo Absoluto: É o ponto mais alto do gráfico da função em todo o seu domínio.
- Mínimo Absoluto: É o ponto mais baixo do gráfico da função em todo o seu domínio.
- Máximo Local: É um ponto onde a função atinge um valor maior que nos pontos próximos a ele.
- Mínimo Local: É um ponto onde a função atinge um valor menor que nos pontos próximos a ele.
- Ponto de Sela: É um ponto onde a função muda de concavidade, não sendo nem máximo nem mínimo.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada número
e
individualmente. Vou supor que cada um representa uma função polinomial simples, já que não temos a figura mencionada.
Para
:
Suponha que
.
- Se
, a parábola abre para cima, e o ponto de vértice é um mínimo absoluto. - Se
, a parábola abre para baixo, e o ponto de vértice é um máximo absoluto. - Não há pontos de sela em funções quadráticas.
Para
:
Suponha que
.
- Essa função sempre terá um ponto de sela no ponto
, pois muda de concavidade ali.
Para
:
Suponha que
, onde
é uma constante.
- O gráfico é uma linha reta horizontal. Não há máximos, mínimos ou pontos de sela, já que a função é constante.
Para
:
Suponha que
.
- Se
, a função tem um mínimo absoluto em . - Se
, a função tem um máximo absoluto em . - Não há pontos de sela em funções com termos pares somente.
Para
:
Suponha que
.
- Podemos reescrever como
. - Completando o quadrado:
. - Se
, tem um mínimo absoluto em . - Se
, tem um máximo absoluto em .
Para
:
Suponha que
.
- Derivando para encontrar pontos críticos:
. - Igualando a zero:
→ . - Testando a concavidade, vemos que em
e , a função tem máximos e mínimos locais dependendo do valor de .
Passo 4
Resumindo o que encontramos para cada número:
-
: Se , mínimo absoluto; se , máximo absoluto. -
: Ponto de sela em . -
: Nenhum máximo, mínimo ou ponto de sela (função constante). -
: Se , mínimo absoluto; se , máximo absoluto. -
: Se , mínimo absoluto em ; se , máximo absoluto em . -
: Máximos e mínimos locais em dependendo de .
Resposta
Para cada número fornecido, a função associada apresenta:
-
: Mínimo ou máximo absoluto dependendo do sinal de . -
: Ponto de sela. -
: Nenhum extremo ou ponto de sela. -
: Mínimo ou máximo absoluto dependendo do sinal de . -
: Mínimo ou máximo absoluto em . -
: Máximos e mínimos locais em .
Exercícios relacionados
Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado.
(f)
(f)
Dada a função
. Encontre: Represente
graficamente (valor:
);
Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3).
(d)
(d)
Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado.
(d)
(d)