Dada a função
. Encontre: Represente
graficamente (valor:
);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar graficamente a função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, como interceptações, comportamento em
tendendo ao infinito e pontos críticos. Vamos precisar identificar esses pontos importantes para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. A interceptação com o eixo
acontece quando
. Então, substituindo na função:
Então, temos um ponto no gráfico:
.
Passo 3
Agora, vamos buscar as interceptações com o eixo
, ou seja, onde
. Isso significa resolver a equação:
Essa equação pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos procurar raízes inteiras possíveis tentando valores de
. Testando
:
Não é zero. Testando
:
Também não é zero. Sem raízes racionais fáceis, vamos deixar essa parte para análise gráfica.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo e negativo.
- Quando
, o termo de maior grau domina e . - Quando
, o termo também domina, mas como é ímpar, .
Isso nos indica que o gráfico passa do canto inferior esquerdo para o canto superior direito.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos críticos da função para identificar possíveis máximos e mínimos locais. Para isso, calculamos a primeira derivada:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Calculando o discriminante (
):
Como
, não há pontos críticos reais. Isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Passa por
. - Sem interceptações reais com o eixo
além de possíveis raízes complexas. - O comportamento às pontas confirma que o gráfico sobe para
à direita e desce para à esquerda. - Sem extremos locais, o gráfico é uma curva crescente constante.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva que passa pelo ponto
, sem interceptações reais com o eixo
, e que sobe para
à direita e desce para
à esquerda, sem apresentar máximos ou mínimos locais.
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Dada a função
. Encontre: Os pontos críticos (valor:
);
Dada a função
. Encontre: Classifique os pontos críticos (valor:
);
Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado.
(f)
(f)
Para cada um dos números
e
, diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]