Dada a função . Encontre: Represente graficamente (valor: );

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar graficamente a função . Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, como interceptações, comportamento em tendendo ao infinito e pontos críticos. Vamos precisar identificar esses pontos importantes para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. A interceptação com o eixo acontece quando . Então, substituindo na função:
Então, temos um ponto no gráfico: .

Passo 3

Agora, vamos buscar as interceptações com o eixo , ou seja, onde . Isso significa resolver a equação:
Essa equação pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos procurar raízes inteiras possíveis tentando valores de . Testando :
Não é zero. Testando :
Também não é zero. Sem raízes racionais fáceis, vamos deixar essa parte para análise gráfica.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito positivo e negativo.
  • Quando , o termo de maior grau domina e .
  • Quando , o termo também domina, mas como é ímpar, .
Isso nos indica que o gráfico passa do canto inferior esquerdo para o canto superior direito.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos da função para identificar possíveis máximos e mínimos locais. Para isso, calculamos a primeira derivada:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Calculando o discriminante ( ):
Como , não há pontos críticos reais. Isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Passa por .
  • Sem interceptações reais com o eixo além de possíveis raízes complexas.
  • O comportamento às pontas confirma que o gráfico sobe para à direita e desce para à esquerda.
  • Sem extremos locais, o gráfico é uma curva crescente constante.

Resposta

O gráfico da função é uma curva que passa pelo ponto , sem interceptações reais com o eixo , e que sobe para à direita e desce para à esquerda, sem apresentar máximos ou mínimos locais.

Exercícios relacionados

Dada a função . Encontre: Os pontos críticos (valor: );
Dada a função . Encontre: Classifique os pontos críticos (valor: );
Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado.
(f)
Para cada um dos números e , diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]