Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de f no intervalo dado.
(d) f(x) = ln(x^2 + x + 1), [-1, 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de x que vai de -1 até 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos críticos onde a função pode ter esses extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x), porque os extremos locais acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Então, vamos derivar f(x) em relação a x.
A derivada de , onde , é dada por:
Agora, vamos derivar u:
Então, a derivada de f(x) é:

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde ou onde não existe. Como o denominador nunca é zero (pois o discriminante da equação quadrática é negativo), a derivada sempre existe. Portanto, apenas precisamos resolver .
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função f(x) nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Primeiro, calculamos f(-1):
Em seguida, calculamos :
Por fim, calculamos f(1):

Resposta

No intervalo [-1, 1], a função atinge seu valor máximo de aproximadamente em x = 1 e seu valor mínimo de aproximadamente em .

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