Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de
que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos críticos onde a função pode ter esses extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, porque os extremos locais acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Então, vamos derivar
em relação a
.
A derivada de
, onde
, é dada por:
Agora, vamos derivar
:
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde
não existe. Como o denominador
nunca é zero (pois o discriminante da equação quadrática é negativo), a derivada sempre existe. Portanto, apenas precisamos resolver
.
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Por fim, calculamos
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor máximo de aproximadamente
em
e seu valor mínimo de aproximadamente
em
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3).
(d)
(d)
Para cada um dos números
e
, diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Calcule:
Calcule:
.