Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos críticos onde a função pode ter esses extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , porque os extremos locais acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Então, vamos derivar em relação a .
A derivada de , onde , é dada por:
Agora, vamos derivar :
Então, a derivada de é:

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde não existe. Como o denominador nunca é zero (pois o discriminante da equação quadrática é negativo), a derivada sempre existe. Portanto, apenas precisamos resolver .
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Por fim, calculamos :

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor máximo de aproximadamente em e seu valor mínimo de aproximadamente em .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3).
(d)
Para cada um dos números e , diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Calcule:
Calcule: .