Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado.
(f)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar os pontos e os valores máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar esses pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais
está definida. A função envolve uma raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero.
Então, devemos ter:
Resolvendo essa desigualdade:
Como o intervalo dado é
, a função está realmente definida apenas de
a
. Para
, a função não existe no conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo
. Para isso, calculamos a derivada de
e igualamos a zero.
A função é:
Vamos calcular a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, identifique as partes:
A derivada de
é
.
A derivada de
é:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
O denominador
nunca é zero no domínio considerado, então a equação se reduz a:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo
para encontrar os valores máximos e mínimos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor máximo de 2 em
e os valores mínimos de 0 nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Dada a função
. Encontre: Represente
graficamente (valor:
);
Dada a função
. Encontre: Os pontos críticos (valor:
);
Para cada um dos números
e
, diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3).
(d)
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