Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar os pontos e os valores máximos e mínimos globais da função no intervalo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar esses pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais está definida. A função envolve uma raiz quadrada: . Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero.
Então, devemos ter:
Resolvendo essa desigualdade:
Como o intervalo dado é , a função está realmente definida apenas de a . Para , a função não existe no conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo . Para isso, calculamos a derivada de e igualamos a zero.
A função é:
Vamos calcular a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, identifique as partes:
A derivada de é .
A derivada de é:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero no domínio considerado, então a equação se reduz a:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor máximo de 2 em e os valores mínimos de 0 nos pontos e .

Exercícios relacionados

Dada a função . Encontre: Represente graficamente (valor: );
Dada a função . Encontre: Os pontos críticos (valor: );
Para cada um dos números e , diga-se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mínimo local, ou um ponto de sela.
Figura 2: extraída da pág. 254 de [1]
Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3).
(d)