Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em R^3 ?
(A) r-18 x-15 y-24 z=-12, 6 x+9 y=21
-16 x-32 y-24 z & =-20, -20 x-40 y-30 z & =-25
(B) r-12 x-27 y-6 z=-24, 24 y+15 z=27
-24 x-20 y-32 z & =-16, -30 x-25 y-40 z & =-20
© r6 x+5 y+8 z=4, -18 x-15 y-24 z=-12, 9 x+2 z=3
r18 x+15 y+24 z=12, -6 x-9 y=-21
(D) r4 x+9 y+2 z=8, 8 y+5 z=9, 24 y+15 z=27
r -18 x-15 y-24 z=-12 27 x+6 z=9 x=7
(E) 6 x+5 y+8 z & =4, 9 x+2 z & =3, x & =7
-24 x-20 y-32 z & =-16, -10 x-15 y & =-35
(F) 36 x+8 z & =12, 45 x+10 z & =15
r4 x+8 y+6 z=5, 2 x+3 y=7, -8 x-12 y=-28
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar em qual das opções apresentadas os dois sistemas lineares têm conjuntos-solução que são retas em , ou seja, têm dimensão 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como determinar a dimensão do conjunto-solução.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa ter uma dimensão 1 no conjunto-solução. Em , uma reta é um exemplo de um conjunto-solução de dimensão 1. Isso ocorre quando, ao resolver o sistema, temos uma variável livre, ou seja, uma variável que pode assumir qualquer valor, e as outras variáveis são expressas em termos dessa variável livre.

Passo 3

Vamos analisar cada opção, verificando os dois sistemas em cada uma e determinando se ambos têm conjuntos-solução de dimensão 1.
Opção (A):
  1. Primeiro Sistema:
    -18x - 15y - 24z = -12 6x + 9y = 21
    Simplificando a segunda equação: -16x - 32y - 24z = -20 -20x - 40y - 30z = -25 . Temos duas equações com três variáveis, indicando que pode haver uma variável livre, sugerindo uma dimensão 1.
  2. Segundo Sistema:
    -20-16 = 54, -40-32 = 54, -30-24 = 54, -25-20 = 54
    Observando, a segunda equação é múltiplo da primeira? Vamos ver:
    Sim, a segunda equação é vezes a primeira, o que significa que na verdade só temos uma equação efetiva, então temos duas variáveis livres, o que sugere uma dimensão 2.
Como o segundo sistema não tem dimensão 1, a opção (A) não atende ao critério.

Passo 4

Para economizar tempo, vamos verificar apenas as opções onde ambos os sistemas podem ter dimensão 1.
Opção (F):
  1. Primeiro Sistema:
    36x + 8z = 12 45x + 10z = 15
    Vamos simplificar as equações dividindo pela constante:
    36x + 8z = 12 Rightarrow 9x + 2z = 3 45x + 10z = 15 Rightarrow 9x + 2z = 3
    As duas equações são iguais, então temos uma equação efetiva com duas variáveis, o que sugere uma dimensão 1.
  2. Segundo Sistema:
    4x + 8y + 6z = 5 2x + 3y = 7 -8x - 12y = -28
    Vamos simplificar as últimas duas equações:
    2x + 3y = 7 e -8x - 12y = -28 Rightarrow 2x + 3y = 7
    As duas últimas equações são equivalentes, então temos duas equações com três variáveis, indicando uma dimensão 1.

Passo 5

Como na opção (F) ambos os sistemas têm conjuntos-solução de dimensão 1, essa é a opção que estamos procurando.

Resposta

A opção (F) é a correta.

Exercícios relacionados