1^circ ) Dados os subespaços vetoriais do R^2, R^3 ou M2, determinar o conjunto gerador
R=(x, y, z) / x+2 y+3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o conjunto gerador do subespaço . Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como expressar todos os vetores desse subespaço em termos de combinações lineares de outros vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma equação linear que define uma condição que os vetores devem satisfazer para pertencer ao subespaço . Como temos uma única equação com três variáveis, isso indica que nosso subespaço será um plano no espaço tridimensional.

Passo 3

Para encontrar um conjunto gerador, precisamos expressar algumas das variáveis em termos das outras. Vamos escolher duas variáveis livres, digamos x = -2y - 3z e (x, y, z) = (-2y - 3z, , y, , z) , e resolver para :
Agora, podemos escrever um vetor genérico no subespaço como:

Passo 4

Vamos fatorar os termos com (x, y, z) = y cdot (-2, , 1, , 0) + z cdot (-3, , 0, , 1) e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Então, o conjunto gerador de é formado por esses dois vetores. Eles são lineares e conseguem gerar todo o subespaço através de combinações lineares.

Resposta

Um conjunto gerador para é .

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