) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o conjunto gerador do subespaço . Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como expressar todos os vetores desse subespaço em termos de combinações lineares de outros vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma equação linear que define uma condição que os vetores devem satisfazer para pertencer ao subespaço . Como temos uma única equação com três variáveis, isso indica que nosso subespaço será um plano no espaço tridimensional.
Passo 3
Para encontrar um conjunto gerador, precisamos expressar algumas das variáveis em termos das outras. Vamos escolher duas variáveis livres, digamos e , e resolver para :
Agora, podemos escrever um vetor genérico no subespaço como:
Passo 4
Vamos fatorar os termos com e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 5
Então, o conjunto gerador de é formado por esses dois vetores. Eles são lineares e conseguem gerar todo o subespaço através de combinações lineares.