) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o conjunto gerador do subespaço . Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como expressar todos os vetores desse subespaço em termos de combinações lineares de outros vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma equação linear que define uma condição que os vetores devem satisfazer para pertencer ao subespaço . Como temos uma única equação com três variáveis, isso indica que nosso subespaço será um plano no espaço tridimensional.

Passo 3

Para encontrar um conjunto gerador, precisamos expressar algumas das variáveis em termos das outras. Vamos escolher duas variáveis livres, digamos e , e resolver para :
Agora, podemos escrever um vetor genérico no subespaço como:

Passo 4

Vamos fatorar os termos com e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Então, o conjunto gerador de é formado por esses dois vetores. Eles são lineares e conseguem gerar todo o subespaço através de combinações lineares.

Resposta

Um conjunto gerador para é .

Exercícios relacionados

Considere os seguintes planos em :
Calcule o ponto em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada é:
(A) 4
(B) 5
© 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
(I) Não sei
Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis e . Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em ?
(A)

(B)

©

(D)
(E)

(F)

(G) Não sei
Seja

uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
(A) 2
(B) -4
© -1
(D) 3
(E) -3
(F) 1
(G) -2
(H) 4
(I) Não sei
A equação do círculo com centro em e raio é dada por: . Abrindo a expressão obtemos:
onde . Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer para valores fixos de que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre e , podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos e . Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
© 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
(I) Não sei