Verifique que, se uma curva regular tem a curvatura e torção , onde e são constantes, então a curva admite uma parametrização da forma
onde e são funções de e .

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado do exercício. Temos uma curva regular cuja curvatura é dada por e a torção é , onde e são constantes. O objetivo é mostrar que essa curva pode ser parametrizada da seguinte forma:
onde , e são funções de e .
Para resolver este problema, vamos utilizar as fórmulas de Frenet-Serret, que relacionam a curvatura e a torção de uma curva com sua parametrização no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de Frenet-Serret, que descrevem como os vetores tangent, normal e binormal de uma curva se comportam à medida que percorremos a curva. As equações são:
onde é o vetor tangente, é o vetor normal e é o vetor binormal da curva.
Essas equações nos permitem relacionar a derivada dos vetores de Frenet ao longo da curva com a curvatura e a torção .

Passo 3

Sabemos que e . Vamos substituir esses valores nas equações de Frenet-Serret:
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de equações diferenciais para encontrar a parametrização .

Passo 4

Vamos assumir que a parametrização da curva tem a forma proposta:
onde , e são funções de e que precisamos determinar.
Para encontrar , e , precisamos calcular a derivada de em relação a para obter o vetor tangente .

Passo 5

Calculando a derivada de :
Esse vetor deve ser proporcional ao vetor tangente da curva. Para simplificar, podemos escolher , de forma que a expressão se torne mais manejável e as constantes sejam relacionadas de maneira consistente com e .

Passo 6

Com , atualizamos a parametrização:
Agora, calculamos a derivada novamente com o novo valor de :

Passo 7

Para que corresponda ao vetor tangente , a norma desse vetor deve ser igual a 1 (ou uma constante se reparametrizarmos). Calculando a norma:
Para simplificar essa expressão, devemos escolher e de forma que a norma seja constante, o que nos leva a relacionar e com e .

Passo 8

Finalmente, ao escolher e apropriados em termos de e , conseguimos que a parametrização satisfaça as condições de curvatura e torção dadas no enunciado. Assim, demonstramos que a curva admitem a parametrização proposta:
onde , e são funções de e .

Resposta

Portanto, mostramos que uma curva regular com curvatura e torção pode ser parametrizada por
onde e são funções de e .

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Duas curvas e são ditas curvas de Bertrand se em pontos correspondentes têm a mesma reta normal. Prove que
a) a distância entre pontos correspondentes é constante;
b) o ângulo entre as retas tangentes de pontos correspondentes é constante.
Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe mais de uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, é uma hélice circular.
Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis e . Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em ?
(A)

(B)

©

(D)
(E)

(F)

(G) Não sei
Considere os seguintes planos em :
Calcule o ponto em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada é:
(A) 4
(B) 5
© 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
(I) Não sei